三、解答题

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，底面，，

，是的中点．

（Ⅰ）证明；

（Ⅱ）证明平面；

（Ⅲ）求二面角的大小．

本小题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象

能力、运算能力和推理论证能力．满分12分．

（Ⅰ）证明：在四棱锥中，因底面，平面，故．

，平面．

而平面，．

（Ⅱ）证明：由，，可得．

是的中点，．

由（Ⅰ）知，，且，所以平面．

而平面，．

底面在底面内的射影是，，．

又，综上得平面．

（Ⅲ）解法一：过点作，垂足为，连结．则（Ⅱ）知，

平面，在平面内的射影是，则．

因此是二面角的平面角．

由已知，得．设，

可得．

在中，，，

则．

在中，．

所以二面角的大小是．

解法二：由题设底面，平面，则平面平面，交线为．

过点作，垂足为，故平面．过点作，垂足为，

连结，故．因此是二面角的平面角．

由已知，可得，设，

可得．

，．

于是，．

在中，．

所以二面角的大小是．