三、解答题

（19）（本小题满分12分）

如图，在直四棱柱中，已知，，．

（Ⅰ）设是的中点，求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

解法一：

（Ⅰ）连结，则四边形为正方形，

，且，

四边形为平行四边形．

．

又平面，平面，

平面．

（Ⅱ）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示

的空间直角坐标系，不妨设，则，，，，，

，，

设为平面的一个法向量．

由，，

得 

取，则．

又，，

设为平面的一个法向量，

由，，

得

取，则，

设与的夹角为，二面角为，显然为锐角，

．

，

即所求二面角的余弦为．

解法二：

（Ⅰ）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图

所示的空间直角坐标系，

设，由题意知：

，，，，，，

，．

，，，

又，

．

平面，平面，

平面．

（Ⅱ）取的中点，的中点，连结，，

由（Ⅰ）及题意得知：

，，

，，

，

．

，，

为所求二面角的平面角．

．

所以二面角的余弦值为．

解法三：

（Ⅰ）证明：如解法一图，连结，，

设，，连结，

由题意知是的中点，又是的中点，

四边形是平行四边形，故是的中点，

在中，，

又平面，平面，

平面．

（Ⅱ）如图，在四边形中，设，

，，，

．

故，由（Ⅰ）得

，，

，即．

又，

平面，又平面，

，

取的中点，连结，，

由题意知：，

．

又，．

为二面角的平面角．

连结，在中，

由题意知：

，，

取的中点，连结，，

在中，

，，

．

．

二面角的余弦值为．