三、解答题

19．（本小题满分13分）

已知双曲线的右焦点为，过点的动直线与双曲线相交于两点，

点的坐标是．

（I）证明，为常数；

（II）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程．

解：由条件知，设，．

（I）当与轴垂直时，可设点的坐标分别为，，

此时．

当不与轴垂直时，设直线的方程是．

代入，有．

则是上述方程的两个实根，所以，，

于是

．

综上所述，为常数．

（II）解法一：设，则，，

，，由得：

即

于是的中点坐标为．

当不与轴垂直时，，即．

又因为两点在双曲线上，所以，，两式相减得

，即．

将代入上式，化简得．

当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．

所以点的轨迹方程是．

解法二：同解法一得……………………………………①

当不与轴垂直时，由（I） 有．…………………②

．………………………③

由①②③得．…………………………………………………④

．……………………………………………………………………⑤

当时，，由④⑤得，，将其代入⑤有

．整理得．

当时，点的坐标为，满足上述方程．

当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．

故点的轨迹方程是．