三、解答题

 18．（本小题满分12分）

如图，在三棱锥中，底面，，是的中点，且，

．

（I）求证：平面；

（II）当解变化时，求直线与平面所成的角的取值范围．

本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识，考查空间想象能力和

推理运算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力．

解法1：（Ⅰ），是等腰三角形，又是的中点，

，又底面．．于是平面．

又平面，平面平面．

（Ⅱ） 过点在平面内作于，则由（Ⅰ）知平面．

连接，于是就是直线与平面所成的角．

在中，；

设，在中，，．

，

，．

又，．

即直线与平面所成角的取值范围为．

解法2：（Ⅰ）以所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示

的空间直角坐标系，则，

于是，，，．

从而，即．

同理，

即．又，平面．

又平面．

平面平面．

（Ⅱ）设直线与平面所成的角为，平面的一个法向量为，

则由．

得

可取，又，

于是，

，，．

又，．

即直线与平面所成角的取值范围为．

解法3：（Ⅰ）以点为原点，以所在的直线分别为轴、轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，

于是，，．

从而，即．

同理，即．

又，平面．

又平面，

平面平面．

（Ⅱ）设直线与平面所成的角为，平面的一个法向量为，

则由，得

可取，又，

于是，

，，．

又，，

即直线与平面所成角的取值范围为．

解法4：以所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示

的空间直角坐标系，则．

设．

（Ⅰ），

，

即．

，

即．

又，平面．

又平面，

平面平面．

（Ⅱ）设直线与平面所成的角为，

设是平面的一个非零法向量，

则取，得．

可取，又，

于是，

，关于递增．

，．

即直线与平面所成角的取值范围为．