三、解答题

18．（本小题满分12分）

  如图，正三棱柱的所有棱长都为

，为中点．                                  

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的大小；                       C₁

（Ⅲ）求点到平面的距离．                   B₁                   

本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，

考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．满分12分．

解法一：（Ⅰ）取中点，连结．

为正三角形，．

正三棱柱中，平面平面，

平面．

连结，在正方形中，分别为                 A₁

的中点，

，                                            C₁

．                                         B₁

在正方形中，，

平面．

（Ⅱ）设与交于点，在平面中，作于，连结，

由（Ⅰ）得平面．

，

为二面角的平面角．

在中，由等面积法可求得，

又，

．

所以二面角的大小为．

（Ⅲ）中，，．

在正三棱柱中，到平面的距离为．

设点到平面的距离为．

由得，

．

点到平面的距离为．

解法二：（Ⅰ）取中点，连结．

为正三角形，．

在正三棱柱中，平面平面，

平面．

取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立空间

直角坐标系，则，，，，，

，，．

，，                    A₁

，．

平面．                                                C₁

（Ⅱ）设平面的法向量为．                         B₁

，．

，，

令得为平面的一个法向量．

由（Ⅰ）知平面，

为平面的法向量．

，．

二面角的大小为．

（Ⅲ）由（Ⅱ），为平面法向量，

       ．

       点到平面的距离．