三、解答题

19．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分）

如题19图，在直三棱柱中，，

；点在棱上，

；，垂足为，求：

（Ⅰ）异面直线与的距离；

（Ⅱ）四棱锥的体积．

解法一：（Ⅰ）由直三棱柱的定义知，又因为，

因此，从而平面．

得，又．

故是异面直线与的公垂线．

由知，

在中，．

又因，

故．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面，又，

故平面，即为四棱锥的高，

从而所求四棱锥的体积为

，

其中为四边形的面积，如答（19）图1，过作，垂足为．

在中，．

又因，

故．

因的边上的高，

故．

又因为，

从而．

所以．

解法二：（Ⅰ）如答（19）图2，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，

则．

因此

，，

，．

设，则，

因此，从而．

又由题设，故是异面直线与的公垂线．

下面求点的坐标．

因，即，从而，···· （1）

又，且，得．····· （2）

联立（1），（2）解得，，即，．

所以．

（II）由，，故面，即为四棱锥的高．

下面求四边形的面积．

因为，．

而．

故．

所以．