20．（本小题满分12分）

A是由定义在[2，4]上且满足如下条件的函数（x）组成的集合：

①对任意的都有(2x);②存在常数L（0＜L＜1），

使得对任意的x₁,x₂[1，2]，都有|（2x₁）- (2x₂)|.

（Ⅰ）设（x）=证明：（x）A:

 (Ⅱ)设（x），如果存在x₀(1,2),使得x₀=（2x₀）,

那么这样的x₀是唯一的：

（Ⅲ）设任取x₁(1,2),令x_n+1=（2x_n）,n=1,2……证明：给定

正整数k，对任意的正整数p,成立不等式。

解（Ⅰ）由题设，对任意

       ∵

       又∵对任意的

而

∴

令，显然存在常数L（0＜L＜1),

使得 

综上所述，可知

（Ⅱ）（运用反证法证明）

     设存在两个实数。

     因为则由

∴L≥1，这与题设0<L<1矛盾，故假设不成立。

从而所证命题结论成立。

（Ⅲ）因为

∴

                                          （其中0＜L＜1）

∴

故∴对于给定正整数k，对任意的正整数p不等式均成立