解答题

（19）（本小题满分12分）

如图，在斜三棱柱中，，

侧面与底面ABC所成的二面角为，E、F分别是棱的中点

  （Ⅰ）求与底面ABC所成的角

  （Ⅱ）证明∥平面

  （Ⅲ）求经过四点的球的体积

解：（Ⅰ）过作平面，垂足为．

连结，并延长交于，于是为与底面所成的角．

∵，∴为的平分线．

又∵，∴，且为的中点．

因此，由三垂线定理．

∵，且，∴．

于是为二面角的平面角，

即．

由于四边形为平行四边形，得．

（Ⅱ）证明：设与的交点为，则点为的中点．连结．

在平行四边形中，因为的中点，故．

而平面，平面，所以平面．

（Ⅲ）连结．在和中，由于，，

，则≌，故．由已知得．

又∵平面，∴为的外心．

设所求球的球心为，则，且球心与中点的连线．

在中，．故所求球的半径，

球的体积．