解答题

（22）（本小题满分14分）

设函数.

（Ⅰ）证明,其中为k为整数；

（Ⅱ）设为的一个极值点，证明；

（Ⅲ）设在(0,+∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排列,

    证明

解：（Ⅰ）证明：由函数的定义，对任意整数，有

．

（Ⅱ）证明：函数在定义域上可导，　　①

令，得．

显然，对于满足上述方程的有，

上述方程化简为．此方程一定有解．

的极值点一定满足．

由，得．

因此，．

（Ⅲ）证明：设是的任意正实数根，即，

则存在一个非负整数，使，即在第二或第四象限内．

由①式，在第二或第四象限中的符号可列表如下：

所以满足的正根都为的

极值点．

由题设条件，，，…，，…为方程的全部正实数根且满足

，

那么对于，

．　②

由于　，，

则，

由于，由②式知．

由此可知必在第二象限，

即．　综上，．