解答题

 (19) （本小题满分12分）

  已知是函数的一个极值点,其中.

（Ⅰ）求m与n的关系表达式;

（Ⅱ）求的单调区间；

（Ⅲ）当时,函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m,

求m的取值范围 

（考查知识点：函数结合导数）

（Ⅰ）解：.

因为是的一个极值点,所以,即.

所以

（Ⅱ）解:由（Ⅰ）知

 当时,有,当变化时与的变化如下表:

由上表知,当时,在单调递减,在单调递增,　在单调递减

（Ⅲ）解法一:由已知,得,即.

.

.

即.               （*）

设,其函数图象的开口向上.

由题意(*)式恒成立,

                  又.

即的取值范围是

解法二：由已知,得，即，

        . .          (*)

              时. (*)式化为怛成立..

              时.

                        (*)式化为 ．

令,则,记 ,

则在区间是单调增函数

．

由(*)式恒成立,必有又．

．

综上、知