解答题

19.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，

，是PC的中点。

（1）证明平面EDB；（2）求EB与底面ABCD所成的角的正切值。

本题考查直线与平面平行、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间

想象能力和推理论证能力，满分12分。

方法一：

（1）证明：连结AC、AC交BD于O。连结EO

     ∵ 底面ABCD是正方形   ∴ 点O是AC的中点。

在中，EO是中位线   ∴

而平面EDB且平面，所以，平面EDB。

（2）解：作交CD于F。连结BF，设正方形ABCD的边长为。

      ∵ 底面ABCD   ∴     ∴   F为DC的中点

∴ 底面ABCD，BF为BE在底面ABCD内的射影，故为直线EB

与底面ABCD所成的角。

在中，

∵     ∴ 在中

所以EB与底面ABCD所成的角的正切值为

方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点。设

（1）证明：连结AC，AC交BD于G。连结EG。依题意得，，

  ∵ 底面ABCD是正方形

∴ G是此正方形的中心，故点G的坐标为

∴     

∴   这表明

而平面且平面EDB    ∴ 平面EDB

（2）解：依题意得，

取DC的中点  连结EF，BF

∵ ，，

∴ ，    ∴ ，

∴ 底面ABCD，BF为BE在底面ABCD内的射影，故为

直线EB与底面ABCD所成的角。

在中，，

∴

所以，EB与底面ABCD所成的角的正切值为。