解答题

19. （本小题满分12分）

  如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，

PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F。

  （1）证明PA//平面EDB；

（2）证明PB⊥平面EFD；

（3）求二面角C—PB—D的大小。

本小题考查直线与平面平行，直线与平面垂直，二面角等基础知识，

考查空间想象能力和推理论证能力，满分12分。

  方法一：

  （1）证明：连结AC，AC交BD于O，连结EO。

  ∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点

  在中，EO是中位线，∴PA // EO

  而平面EDB且平面EDB，

  所以，PA // 平面EDB

（2）证明：

∵PD⊥底面ABCD且底面ABCD，∴

∵PD=DC，可知是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，

∴。    ①

同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC。

∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC。

而平面PDC，∴。    ②

由①和②推得平面PBC。

而平面PBC，∴

又且，所以PB⊥平面EFD。

（3）解：由（2）知，，故是二面角C—PB—D的平面角。

由（2）知，。

设正方形ABCD的边长为a，则

，   

。

在中，。

在中，，∴。

所以，二面角C—PB—D的大小为。

方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设。

（1）证明：连结AC，AC交BD于G，连结EG。

依题意得。

∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为且

。

∴，这表明PA//EG。

而平面EDB且平面EDB，∴PA//平面EDB。

（2）证明；依题意得，。又，

故。

∴。

由已知，且，所以平面EFD。

（3）解：设点F的坐标为，，则

。

从而。所以

。

由条件知，，即

，解得

∴点F的坐标为，且

，

∴

即，故是二面角C—PB—D的平面角。

∵，且

，，

∴。

∴。

所以，二面角C—PB—D的大小为。