解答题

20、(本题满分14分) 第1小题满分6分, 第2小题满分8分

  如图, 直线y=x与抛物线y=x2－4交于A、B两点, 线段AB的垂直

平分线与直线y=－5交于Q点.

 (1) 求点Q的坐标；

(2) 当P为抛物线上位于线段AB下方

(含A、B) 的动点时, 求ΔOPQ面积的最大值.

 

　

　

【解】(1)解方程组

   y=x

得

X1=－4,           x2=8

   y=x2－4

y1=－2,           y2=4

   即A(－4,－2),B(8,4), 从而AB的中点为M(2,1).

   由kAB==,直线AB的垂直平分线方程y－1=(x－2).

   令y=－5, 得x=5, ∴Q(5,－5)

  (2) 直线OQ的方程为x+y=0, 设P(x, x2－4).

   ∵点P到直线OQ的距离d==,

   ,∴SΔOPQ==.

  ∵P为抛物线上位于线段AB下方的点, 且P不在直线OQ上,

  ∴－4≤x<4－4或4－4<x≤8.

  ∵函数y=x2+8x－32在区间[－4,8] 上单调递增,

  ∴当x=8时, ΔOPQ的面积取到最大值30.

 

 

 

 

 

　

　

　

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