解答题

22、(本题满分18分) 第1小题满分6分, 第2小题满分4分, 第3小题满分8分

  设P₁(x₁,y₁), P₁(x₂,y₂),…, P_n(x_n,y_n)(n≥3,n∈N) 是二次曲线C上

的点, 且a₁=², a₂=², …, a_n=²构成了一个公差为d(d≠0) 的

等差数列, 其中O是坐标原点. 记S_n=a₁+a₂+…+a_n.

(1)      若C的方程为=1,n=3. 点P₁(3,0) 及S₃=255, 求点P₃的坐标；

 (只需写出一个)

(2)若C的方程为(a>b>0). 点P₁(a,0), 对于给定的自然数n, 当公

差d变化时, 求S_n的最小值；

. (3)请选定一条除椭圆外的二次曲线C及C上的一点P₁,对于给定的自然数n,

写出符合条件的点P₁, P₂,…P_n存在的充要条件,并说明理由.

【解】(1) a₁=²=100,由S₃=(a₁+a₃)=255,得a₃=³=70.

  ∴点P₃的坐标可以为(2, ).

 (2) 【解法一】原点O到二次曲线C:(a>b>0)上各点的最小距离为b,

最大距离为a.

    ∵a₁=²=a², ∴d<0,且a_n=²=a²+(n－1)d≥b²,

    ∴≤d<0. ∵n≥3,>0

    ∴S_n=na²+d在[,0)上递增,

  故S_n的最小值为na²+·=.

  【解法二】对每个自然数k(2≤k≤n),

     ∵0< y≤b²,得≤d<0

     ∴≤d<0

    以下与解法一相同.

   (3) 【解法一】若双曲线C:－=1,点P₁(a,0),

   则对于给定的n, 点P₁, P₂,…P_n存在的充要条件是d>0.

   ∵原点O到双曲线C上各点的距离h∈[,+∞),且=a²,

   ∴点P₁, P₂,…P_n存在当且仅当²>²,即d>0.

   【解法二】若抛物线C:y²=2x,点P₁(0,0),

   则对于给定的n, 点P₁, P₂,…P_n存在的充要条件是d>0.理由同上

   【解法三】若圆C:(x－a)+y²=a²₍a≠0₎, P₁(0,0),

    则对于给定的n, 点P₁, P₂,…P_n存在的充要条件是0<d≤.

    ∵原点O到圆C上各点的最小距离为0,最大距离为2,

   且=0, ∴d>0且²=(n－1)d≤4a².即0<d≤.