解答题

（18）（本小题满分12分）

如图，在棱长为1的正方体ABCD－A₁、B₁、C₁、D₁中，点E是棱BC的中点，

点F 是棱CD上的动点。

（Ⅰ）试确定点F的位置，使得D₁E⊥平面AB₁F；

（Ⅱ）当D₁E⊥平面AB₁F时，求二面角C₁―EF―A的大小

（结果用反三角函数值表示）。

本小题主要考查线面关系和正方体等基础知识，考查空间想象能力和推

是运算能力。满分12分。

解法一：（Ⅰ）连结A₁B，则A₁B是D₁E在面ABE₁A₁风的射影。

∵AB₁⊥A₁B，∴D₁E⊥AB_1。。

于是D₁E⊥平面AB₁FD₁E⊥AF。

连接DE，则DE是D₁ED 底面ABCD内的射影。

∴D₁E⊥AFDE⊥AF。

∵ABCD是正方形，E是BC的中点，

∴当且仅当F是CD的中点时，DE⊥AF，

既当点F是CD的中点时，D₁F⊥平面AB₁F。……6分

（Ⅱ）当D₁E⊥平面AB₁F时，由（Ⅰ）知点F是CD的中点。

又已知点E是BC的中点，连结EF，则EF∥BD。连接AC；

设AC与EF交于点H，则CH⊥EF。连结C₁H，则CH是C₁H在底面ABCD内的射影。

∴C₁H⊥EF，既∠C₁HC上二面角C₁－EF－C的平面角。

在Rt△C₁CH中，∵C₁C=1，CH=，AC=。

∴。

∴∠C₁HC=，从而。

故二面角C₁－EF－A的大小为。

解法二：以A为坐标标原点，建立如图所未的空间直角坐标系。

（Ⅰ）设DF=，则A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0）

A₁（0，0，1），B₁（1，0，1）D₁（0，1，1），E，F（，1，0）

∴，（1，0，1），。

于是D₁E⊥平面。

既。故当点F是CD的中点时，D₁E⊥平面AB₁F。

（Ⅱ）当₁E⊥平面AB₁F时，F是CD的中点。又E是BC的中点，连接EF，

则EF∥BD。连接AC，设AC与EF交于点H，则AH⊥EF。连接C₁H，则CH是C₁H

在底面ABCD内的射影。

∴C₁H⊥EF，既∠AHC₁是二面角C₁－EF－A的平面角。

∵C1（1，1，1），H，。

∴，。

∴

=。

既∠AHC₁=

故二面角C₁－EF－A的大小为。