解答题

（16）（本小题满分14分）

    如图，在正三棱柱中，AB＝2，，由顶点B沿棱柱

侧面经过棱到顶点的最短路线 与的交点记为M，求：

    （I）三棱柱的侧面展开图的对角线长

    （II）该最短路线的长及的值

    （III）平面与平面ABC所成二面角（锐角）的大小

本小题主要考查直线与平面的位置关系、棱柱等基本知识，考查空间想象能力、

逻辑思维能力和运算能 力。满分14分。

    解：（I）正三棱柱的侧面展开图是长为6，宽为2的矩形

    其对角线长为

    （II）如图，将侧面绕棱旋转使其与侧面在同一平面上，

点B运动到点D的位置， 连接交于M，则就是由顶点B沿棱柱侧面经过

棱到顶点C₁的最短路线，其长为

    ，

    故

（III）连接DB，，则DB就是平面与平面ABC的交线

    在中

    又

    由三垂线定理得

    就是平面与平面ABC所成二面角的平面角（锐角）

    侧面是正方形

    故平面与平面ABC所成的二面角（锐角）为