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高考数学必做百题第96题（理科2017版）<-->高考数学必做百题第98题（理科2017版）
097.（1）如图，$\Delta ABC$是圆的内接三角形，$\angle BAC$的平分线交圆于点$D$，交$BC$于点$E$，过点$B$的圆的切线与$AD$的延长线交于点$F$.在上述条件下，给出下列四个结论：
①$BD$平分$\angle CBF$；
②$F{{B}^{2}}=FD\cdot FA$；
③$AE\cdot CE=BE\cdot DE$；
④$AF\cdot BD=AB\cdot BF$。
则所有正确结论的序号是（ ）
A.①② B.③④ C.①②③ D.①②④
（2）如图，在$\Delta ABC$中，$AB=AC$，$\Delta ABC$的外接圆圆$O$的弦$AE$交$BC$于点$D$。
求证：$\Delta ABD\sim \Delta AEB$。
解：（1）
由弦切角定理得$\angle FBD=\angle EAC=\angle BAE$，
又∵$\angle BFD=\angle AFB$，
∴$\Delta BFD$∽$\Delta AFB$，
∴$\dfrac{BF}{AF}=\dfrac{BD}{AB}$，
即$AF\cdot BD=AB\cdot BF$。
∴排除A、C。
又∵$\angle FBD=\angle EAC=\angle DBC$，
∴排除B。 故选D。
考点：角平分线，圆及切线性质，相似三角形。
（2）证明：
∵$AB=AC$，
∴$\angle ABD=\angle C$。
又∵$\angle C\text{=}\angle E$，
∴$\angle ABD=\angle E$。
又$\angle BAE=\angle DAB$，（公共角）
∴$\Delta ABD\sim \Delta AEB$。
考点：圆的角、弧性质，相似三角形。
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