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高考数学必做百题第94题（理科2017版）<-->高考数学必做百题第96题（理科2017版）
095.（1）（2016江苏21.B）已知矩阵$A\left[ \begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & -2 \\\end{matrix} \right]$ 矩阵B的逆矩阵${{B}^{'}}\left[ \begin{matrix} 1 & -\dfrac{1}{2} \\ 0 & 2 \\\end{matrix} \right]$ ，求矩阵AB。
（2）设矩阵$M=\left( \begin{matrix} a & 0 \\ 0 & b \\\end{matrix} \right)$ (其中$a>0,b>0$)。
①若$a=2,b=3$，求矩阵$M$的逆矩阵${{M}^{-1}}$；
②若曲线$C:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1$在矩形$M$所对应的线性变换作用下得到曲线$C':\dfrac{{{x}^{2}}}{4}+{{y}^{2}}=1$，求$a,b$的值。
解：（1）设$B=\left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \\\end{matrix} \right)$，则${{B}^{-1}}B=\left( \begin{matrix} 1 & -\dfrac{1}{2} \\ 0 & 2 \\\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \\\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right)$，
即$\left( \begin{matrix} a-\dfrac{1}{2}c & b-\dfrac{1}{2}d \\ 2c & 2d \\\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right)$，
∴$\left\{ \begin{matrix} a-\dfrac{1}{2}c=1 \\ b-\dfrac{1}{2}d=0 \\ 2c=0 \\ 2d=1 \\\end{matrix} \right.$，解得$\left\{ \begin{matrix} a=1 \\ b=\dfrac{1}{4} \\ c=0 \\ d=\dfrac{1}{2} \\\end{matrix} \right.$ ，
∴$B=\left( \begin{matrix} 1 & \dfrac{1}{4} \\ 0 & \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} \right)$。
∴$AB=\left[ \begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & -2 \\\end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} 1 & \dfrac{1}{4} \\ 0 & \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 1 & \dfrac{5}{4} \\ 0 & -1 \\\end{matrix} \right]$
考点：逆矩阵，矩阵乘法。
（2）①设矩阵$M$的逆矩阵${{M}^{-1}}=\left( \begin{matrix} {{x}_{1}} & {{y}_{1}} \\ {{x}_{2}} & {{y}_{2}} \\\end{matrix} \right)$，
则$M{{M}^{-1}}=\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right)$。
又$M=\left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \\\end{matrix} \right)$，∴$\left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \\\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} {{x}_{1}} & {{y}_{1}} \\ {{x}_{2}} & {{y}_{2}} \\\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right)$。
即$\left( \begin{matrix} 2{{x}_{1}} & 2{{y}_{1}} \\ 3{{x}_{2}} & 3{{y}_{2}} \\\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right)$,
∴${{y}_{1}}={{x}_{2}}=0$,${{x}_{1}}=\dfrac{1}{2}$,${{y}_{2}}=\dfrac{1}{3}$，
∴所求的逆矩阵${{M}^{-1}}=\left( \begin{matrix} \dfrac{1}{2} & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{3} \\\end{matrix} \right)$。
②设曲线$C$上任意一点$P\left( x,y \right)$，它在矩阵$M$所对应的线性变换作用下得到点$P'\left( x',y' \right)$，
则$\left( \begin{matrix} a & 0 \\ 0 & b \\\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x \\ y \\\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\\end{matrix} \right)$，即$\left\{ \begin{matrix} ax=x' \\ by=y' \\\end{matrix} \right.$。
又点$P'\left( x',y' \right)$，在曲线$C'$上，
∴$\dfrac{x{{'}^{2}}}{4}+y{{'}^{2}}=1$。
则$\dfrac{{{a}^{2}}{{x}^{2}}}{4}+{{b}^{2}}{{y}^{2}}=1$为曲线$C$的方程。
又已知曲线$C$的方程为${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1$，
∴$\left\{ \begin{matrix} {{a}^{2}}=4 \\ {{b}^{2}}=1 \\\end{matrix} \right.$。
又$a>0,b>0$，∴$a=2,\ \ b=1$。
考点：逆矩阵，矩阵乘法，矩阵的线性变换。
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