高考数学必做百题第86题（理科2017版）

（1）若$f(x)$在$\left[ 1,+\infty  \right)$上是增函数，求实数$a$的取值范围；

（2）若$x=3$是$f\left( x \right)$的极值点，求$f\left( x \right)$的单调区间和极值。

解：（1）∵$f(x)={{x}^{3}}-a{{x}^{2}}-3x$，

∴$f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-2ax-3$。

由$f'\left( x \right)\ge 0$，得$a\le \dfrac{3}{2}\left( x-\dfrac{1}{x} \right)$。

设$g\left( x \right)=\dfrac{3}{2}\left( x-\dfrac{1}{x} \right)$，则$g'\left( x \right)=\dfrac{3}{2}\left( 1+\dfrac{1}{{{x}^{2}}} \right)$，

∴当$x\ge 1$时，$g\left( x \right)$是增函数，

∴$g{{\left( x \right)}_{\min }}=\dfrac{3}{2}\left( 1-1 \right)=0$，∴$a\le g{{\left( x \right)}_{\min }}=0$。

∴实数$a$的取值范围是$\left( -\infty 0 \right]$。

（2）∵$x=3$是$f\left( x \right)$的极值点，

∴$f'\left( 3 \right)=0$，即27－6a－3＝0，∴$a=4$。

∴$f\left( x \right)={{x}^{3}}-4{{x}^{2}}-3x$，$f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-8x-3$。

令$f\left( x \right)=0$，得$x=-\dfrac{1}{3}$或$3$。

当$x$变化时，$f'\left( x \right)$、$f\left( x \right)$的变化情况如下表：

      

∴$f\left( x \right)$的单调递增区间为$\left( -\infty ,-\dfrac{1}{3} \right]$，$\left[ 3,+\infty  \right)$；单调递减区间为$\left[ -\dfrac{1}{3},3 \right]$。$f\left( x \right)$的极大值为$\dfrac{14}{27}$，极小值为$-18$。