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高考数学必做百题第67题(理科2017版)<-->高考数学必做百题第69题(理科2017版)
068.如图,在正三棱柱$ABC-A_1 B_1 C_1 $中,$AB=AA_1$ ,点$D$是$A_1 B_1 $的中点,点$E$在$A_1 C_1 $上,且$DE⊥AE$。
(1)证明:平面$ADE$⊥平面$ACC_1 A$;
(2)求直线$AD$和平面$ABC_1$ 所成角的正弦值。
(1)证明:如图,
∵在正三棱柱$ABC-A_1 B_1 C_1$ 中,$A{{A}_{1}}\bot {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}$,
∴$A{{A}_{1}}\bot DE$。(转化为证明线线垂直)
又$DE\bot AE$,且$A{{A}_{1}}\bigcap {{A}_{1}}{{C}_{1}}\text{=}{{A}_{1}}$,
∴$DE\bot AC{{C}_{1}}{{A}_{1}}$,(转化为证明线面垂直)
又$DE\subset ADE$,
∴$ADE\bot AC{{C}_{1}}{{A}_{1}}$.
(2)解:如图,取AC中点O,以O为原点建立空间直角坐标系$O\text{-}xyz$.设$A{{A}_{1}}=\sqrt{2}$,则$AB=2$,$A\left( 0,-1,0 \right),B\left( \sqrt{3},0,0 \right),{{C}_{1}}\left( 0,1,\sqrt{2} \right),D\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2},-\dfrac{1}{2},\sqrt{2} \right)$。
∴$\overrightarrow{AB}=\left( \sqrt{3},1,0 \right),\overrightarrow{A{{C}_{1}}}=\left( 0,2,\sqrt{2} \right),$
$\overrightarrow{AD}=\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2},\dfrac{1}{2},\sqrt{2} \right)$。
设$AB{{C}_{1}}$的法向量为$\overrightarrow{n}=\left( x,y,z \right)$,则
由$\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{AB}=0 \\ \overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{A{{C}_{1}}}=0 \\\end{matrix} \right.$,得$\left\{ \begin{matrix} \sqrt{3}x+y=0 \\ 2y+\sqrt{2}z=0 \\\end{matrix} \right.$,
令$x=1$,则$\overrightarrow{n}=\left( 1,-\sqrt{3},\sqrt{6} \right)$。
设直线$AD$和平面$ABC_1 $所成角为$\theta $,则
$\sin \theta =\dfrac{\left| \overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{AD} \right|}{\left| \overrightarrow{n} \right|\cdot \left| \overrightarrow{AD} \right|}=\dfrac{2\sqrt{3}}{\sqrt{10}\times \sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{10}}{5}$。
∴直线$AD$和平面$ABC_1$ 所成角的正弦值为$\dfrac{\sqrt{10}}{5}$。
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