高考数学必做百题第68题（理科2017版）

（1）证明：平面$ADE$⊥平面$ACC_1 A$；

（2）求直线$AD$和平面$ABC_1$ 所成角的正弦值。

（1）证明：如图，

∵在正三棱柱$ABC-A_1 B_1 C_1$ 中，$A{{A}_{1}}\bot {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}$，

∴$A{{A}_{1}}\bot DE$。（转化为证明线线垂直）

又$DE\bot AE$，且$A{{A}_{1}}\bigcap {{A}_{1}}{{C}_{1}}\text{=}{{A}_{1}}$，

∴$DE\bot AC{{C}_{1}}{{A}_{1}}$，（转化为证明线面垂直）

又$DE\subset ADE$，

∴$ADE\bot AC{{C}_{1}}{{A}_{1}}$.

（2）解：如图，取AC中点O，以O为原点建立空间直角坐标系$O\text{-}xyz$.设$A{{A}_{1}}=\sqrt{2}$，则$AB=2$，$A\left( 0,-1,0 \right),B\left( \sqrt{3},0,0 \right),{{C}_{1}}\left( 0,1,\sqrt{2} \right),D\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2},-\dfrac{1}{2},\sqrt{2} \right)$。

 

∴$\overrightarrow{AB}=\left( \sqrt{3},1,0 \right),\overrightarrow{A{{C}_{1}}}=\left( 0,2,\sqrt{2} \right),$

$\overrightarrow{AD}=\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2},\dfrac{1}{2},\sqrt{2} \right)$。

设$AB{{C}_{1}}$的法向量为$\overrightarrow{n}=\left( x,y,z \right)$，则

由$\left\{ \begin{matrix}   \overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{AB}=0  \\   \overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{A{{C}_{1}}}=0  \\\end{matrix} \right.$，得$\left\{ \begin{matrix}   \sqrt{3}x+y=0  \\   2y+\sqrt{2}z=0  \\\end{matrix} \right.$，

令$x=1$，则$\overrightarrow{n}=\left( 1,-\sqrt{3},\sqrt{6} \right)$。

设直线$AD$和平面$ABC_1$所成角为$\theta$，则

$\sin \theta =\dfrac{\left| \overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{AD} \right|}{\left| \overrightarrow{n} \right|\cdot \left| \overrightarrow{AD} \right|}=\dfrac{2\sqrt{3}}{\sqrt{10}\times \sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{10}}{5}$。

∴直线$AD$和平面$ABC_1$ 所成角的正弦值为$\dfrac{\sqrt{10}}{5}$。