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高考数学必做百题第65题（理科2017版）<-->高考数学必做百题第67题（理科2017版）
066.如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，AB=$\sqrt{2}$，AF=1，M是线段EF的中点。
（1）求证：AM∥平面BDE；
（2）求证：AM⊥平面BDF；
（3）求二面角A－DF－B的大小。
解：（1）如图，设AC与BD的交点为O，连接OE，
∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形，
∴四边形AOEM是平行四边形，
∴AM∥OE。（转化为证明线线平行）
∵$OE\subset $平面BDE，
且$AM\not\subset $平面BDE，
∴AM∥平面BDE。
（2）如图，连接OM、OE，
∵正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，
∴$AF\bot ABCD$，又$BD\subset ABCD$，
∴$AF\bot BD$。
在正方形ABCD中，$BD\bot AC$，
又$AC\bigcap AF=A$，∴$BD\bot ACEF$，
又$AM\subset ACEF$，∴$BD\bot AM$。
在正方形ABCD中，$AB=\sqrt{2}$，
∴$AC=2AC=2=2AO=2CO$，
在矩形ACEF中，$AF=1$，（转化为证明线线垂直）
∴$AOMF$是正方形，$AM\bot OF$。
又∵$AM\bot BD$，$BD\bigcap OF=O$，
∴$AM\bot BDF$。
（3）在平面AFD中过A作AS⊥DF于S，连结BS，
∵AB⊥AF， AB⊥AD，又$AD\bigcap AF=A$，
∴AB⊥平面ADF，（线面垂直是关键）
∴AS是BS在平面ADF上的射影，
由三垂线定理得BS⊥DF，（或应用线面垂直转化）
∴∠BSA是二面角A—DF—B的平面角。（转化为寻求二面角的平面角的大小）
在$Rt\Delta ASB$中，$AS=\dfrac{AD\cdot AF}{DF}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$，
$AB=\sqrt{2}$，
∴$\tan \angle ASB=\sqrt{3}$，$\angle ASB=60{}^\circ $。
∴二面角A—DF—B的大小为60º。
（本题可以应用空间向量坐标法证明或求解）
空间向量与立体几何
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