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高考数学必做百题第38题（理科2017版）<-->高考数学必做百题第40题（理科2017版）
039.已知数列$\left\{ {{a}_{n}} \right\}$的前$n$项和为${{S}_{n}}=-2{{n}^{2}}+24n$.
（1）求数列$\left\{ {{a}_{n}} \right\}$的通项公式；
（2）数列$\left\{ {{a}_{n}} \right\}$是等差数列吗？如果是，求它的首项与公差；
（3）当$n$取何值时，${{S}_{n}}$最大？并求${{S}_{n}}$的最大值。
解：（1）①当$n=1$时，${{a}_{1}}={{S}_{1}}=22$；
②当$n\ge 2$时，由${{a}_{n}}={{S}_{n}}-{{S}_{n-1}}$得
${{a}_{n}}=\left( -2{{n}^{2}}+24n \right)-\left[ -2{{(n-1)}^{2}}+24(n-1) \right]=26-4n$
又${{a}_{1}}=22$满足${{a}_{n}}=26-4n$，
∴数列$\left\{ {{a}_{n}} \right\}$的通项公式为${{a}_{n}}=26-4n(n\in {{N}^{*}})$.
（2）∵${{a}_{n}}-{{a}_{n-1}}=\left( 26-4n \right)-\left[ 26-4(n-1) \right]=-4$，
∴数列$\left\{ {{a}_{n}} \right\}$是首项为$22$，公差为$-4$的等差数列。
（3）∵${{S}_{n}}=-2{{n}^{2}}+24n=-2{{\left( n-6 \right)}^{2}}+72$，
∴当$n=6$时，${{S}_{n}}$最大，${{S}_{n}}$的最大值为$72$。
另解：∵$d=-4$，∴等差数列$\left\{ {{a}_{n}} \right\}$是递减数列。
由$\left\{ \begin{align} & {{a}_{n}}\ge 0 \\ & {{a}_{n+1}}\le 0 \\ \end{align} \right.$ 得$\left\{ \begin{align} & 26-4n\ge 0 \\ & 22-4n\le 0 \\ \end{align} \right.$，解得$5.5\le n\le 6.5$，
取$n=6$，这时${{S}_{n}}$最大，${{S}_{n}}$的最大值为
${{S}_{6}}=-2\times {{6}^{2}}+24\times 6=72$。（注：两种方法各有特色）
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