高考数学必做百题第29题（理科2017版）

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三角恒等变换

029.（1）（2016新课标Ⅲ理5）若$\tan \alpha =\dfrac{3}{4}$ ，则${{\cos }^{2}}\alpha +2\sin 2\alpha =$ （  ）

A.$\dfrac{64}{25}$        B. $\dfrac{48}{25}$       C.1       D. $\dfrac{16}{25}$ 

（2）（2016新课标Ⅱ理9）若$\cos \left( \dfrac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}-\alpha  \right)=\dfrac{3}{5}$，则$\sin 2\alpha$=（  ）

A.$\dfrac{7}{25}$                 B.$\dfrac{1}{5}$                            C.$-\dfrac{1}{5}$                 D.$-\dfrac{7}{25}$

解：（1）∵$\tan \alpha =\dfrac{3}{4}$，

∴$\sin \alpha =\dfrac{3}{5},\cos \alpha =\dfrac{4}{5}$ 或

$\sin \alpha =-\dfrac{3}{5},\cos \alpha =-\dfrac{4}{5}$，

∴${{\cos }^{2}}\alpha +2\sin 2\alpha =\dfrac{16}{25}+4\times \dfrac{12}{25}\text{=}\dfrac{64}{25}$，

故选A。

考点：同角三角函数间的基本关系；倍角公式。

（2）$\cos \left[ 2\left( \dfrac{\pi }{4}-\alpha  \right) \right]=2{{\cos }^{2}}\left( \dfrac{\pi }{4}-\alpha  \right)-1$ 

$=2\cdot {{\left( \dfrac{3}{5} \right)}^{2}}-1=-\dfrac{7}{25}$，

且$\cos \left[ 2\left( \dfrac{\pi }{4}-\alpha  \right) \right]=\cos \left[ \dfrac{\pi }{2}-2\alpha  \right]=\sin 2\alpha$，

∴$\sin 2\alpha =-\dfrac{7}{25}$。故选D。

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