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高考数学必做百题第27题(理科2017版)

027.已知函数$f\left( x \right)=2\sqrt{3}\sin x\cos x+2{{\sin }^{2}}x-1\left( x\in R \right)$。

(1)求函数$f\left( x \right)$的最小正周期和单调递增区间;

(2)将函数$y=f\left( x \right)$的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标缩短到原来的$\dfrac{1}{2}$,再把所得到的图象向左平移$\dfrac{\pi }{6}$个单位长度,得到函数$y=g\left( x \right)$的图象,求函数$y=g\left( x \right)$在区间$\left[ -\dfrac{\pi }{6},\dfrac{\pi }{12} \right]$上的值域。

解:(1))∵$f\left( x \right)=2\sqrt{3}\sin x\cos x+2{{\sin }^{2}}x-1\left( x\in R \right)$

$=\sqrt{3}\sin 2x-\cos 2x$$=2\sin \left( 2x-\dfrac{\pi }{6} \right)$,

∴函数$f\left( x \right)$的最小正周期为$T=\pi $。

∵$-\dfrac{\pi }{2}+2k\pi \le 2x-\dfrac{\pi }{6}\le \dfrac{\pi }{2}+2k\pi \left( k\in Z \right)$,

∴$-\dfrac{\pi }{6}+k\pi \le x\le \dfrac{\pi }{3}+k\pi \left( k\in Z \right)$,

∴$f\left( x \right)$的单调递增区间为$\left[ -\dfrac{\pi }{6}+k\pi \dfrac{\pi }{3}+k\pi  \right]\left( k\in Z \right)$。

(2)函数$y=f\left( x \right)$的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标缩短到原来的$\dfrac{1}{2}$,得到$y=2\sin \left( 4x-\dfrac{\pi }{6} \right)$;

再把所得到的图象向左平移$\dfrac{\pi }{6}$个单位长度,得到$g\left( x \right)=2\sin \left[ 4\left( x+\dfrac{\pi }{6} \right)-\dfrac{\pi }{6} \right]$

$=2\sin \left( 4x+\dfrac{\pi }{2} \right)=2\cos 4x$,

当$x\in \left[ -\dfrac{\pi }{6},\dfrac{\pi }{12} \right]$时,$4x\in \left[ -\dfrac{2\pi }{3},\dfrac{\pi }{3} \right]$,

∴当$x=0$时,$g{{\left( x \right)}_{\max }}=2$,

当$x=-\dfrac{\pi }{6}$时,$g{{\left( x \right)}_{\min }}=-1$。

∴$y=g\left( x \right)$在区间$\left[ -\dfrac{\pi }{6},\dfrac{\pi }{12} \right]$上的值域为$\left[ -1,2 \right]$。

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