高考数学必做百题第08题(理科2017版)<-->高考数学必做百题第10题(理科2017版)
009.已知|→a|=4,|→b|=3,(2→a−3→b)⋅(2→a+→b)=61,
(1)求→a与→b的夹角θ;
(2)求|→a+→b|;
(3)若→c=(1,2),且→a⊥→c,求→a。
解:(1)∵(2→a−3→b)⋅(2→a+→b)
=4→a2−4→a⋅→b−3→b2=4×16−4×4×3×cosθ−3×9
=61,
∴ cosθ=−12,
∴ θ=120∘.
(2)|→a+→b|2=(→a+ →b)2=|→a|2+2→a⋅→b+|→b|2
=42 +2×(-6)+32 =13,
∴|→a+→b|=√13。
(3)设→a=(x,y),∵→c=(1,2),且→a⊥→c,
∴(1,2)⋅(x,y)=0,即x+2y=0。
由{x2+y2=42x+2y=0,得5y2=16,
解得{x=−8√55y=4√55或{x=8√55y=−4√55。
∴ →a=(−8√55,4√55)或(8√55,−4√55)。
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