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高考数学必做百题第26题(文科2017版)

026.已知角$\alpha $的终边经过$P\left( m,-3 \right)$,且$\cos \alpha =\dfrac{m}{5}$。

(1)判断角$\alpha $的象限,求$3\sin \alpha -4\tan \alpha $的值;   

(2)求$\dfrac{\sin \left( 5\pi -\alpha  \right)-\cos \left( \alpha -\dfrac{7\pi }{2} \right)}{\sin \left( \dfrac{5\pi }{2}+\alpha  \right)-\cos \left( 3\pi -\alpha  \right)}$的值。

解:(1)∵$r==\sqrt{{{m}^{2}}+{{(-3)}^{2}}}=\sqrt{{{m}^{2}}+9}$,     

又$\cos \alpha =\dfrac{m}{5}=\dfrac{m}{\sqrt{{{m}^{2}}+9}}$,∴$m=\pm 4$,

∴点$P\left( \pm 4,-3 \right)$在第3、4象限,那么角$\alpha $是第3、4象限的角。

∵$r=5$,$\sin \alpha =\dfrac{y}{r}=\dfrac{-3}{5}=-\dfrac{3}{5}$,$\cos \alpha =\dfrac{x}{r}=\pm \dfrac{4}{5}$,

  $\tan \alpha =\dfrac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\pm \dfrac{3}{4}$,

∴$3\sin \alpha -4\tan \alpha $$=3\times (-\dfrac{3}{5})\pm 4\times \dfrac{3}{4}=\dfrac{6}{5}$或$-\dfrac{24}{5}$

(当角$\alpha $是第3象限时取负值,当角$\alpha $是第4象限时取正值)。

(2)$\dfrac{\sin \left( 5\pi -\alpha  \right)-2\cos \left( \alpha -\dfrac{7\pi }{2} \right)}{3\sin \left( \dfrac{7\pi }{2}+\alpha  \right)+\cos \left( 3\pi -\alpha  \right)}+\tan \left( \alpha -3\pi  \right)$

$=\dfrac{\sin \alpha +2\sin \alpha }{-3\cos \alpha -\cos \alpha }+\tan \alpha $

$=-\dfrac{3\sin \alpha }{4\cos \alpha }+\tan \alpha =\dfrac{1}{4}\tan \alpha =\dfrac{1}{4}\left( \pm \dfrac{3}{4} \right)=\pm \dfrac{3}{16}$(当角$\alpha $是第3象限时取正值,当角$\alpha $是第4象限时取负值)。

 

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