高考数学必做百题第21题（文科2017版）

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021. 对于函数$f(x)=\dfrac{2\cdot {{3}^{x}}+1}{{{3}^{x}}+1}$. 

（1）探索函数$f(x)$的单调性，并证明之；

（2）函数$f(x)$是奇函数吗？说明理由。

解：（1）$f(x)$的定义域为R，判断函数$f(x)$在$R$上是增函数。证明如下：

∵$f(x)=\dfrac{2\cdot {{3}^{x}}+1}{{{3}^{x}}+1}=\dfrac{2\left( {{3}^{x}}+1 \right)-1}{{{3}^{x}}+1}=2-\dfrac{1}{{{3}^{x}}+1}$，

设${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$，则

$f({{x}_{1}})-f({{x}_{2}})=2-\dfrac{1}{{{3}^{{{x}_{1}}}}+1}-2+\dfrac{1}{{{3}^{{{x}_{2}}}}+1}$ $=\dfrac{{{3}^{{{x}_{1}}}}-{{3}^{{{x}_{2}}}}}{({{3}^{{{x}_{1}}}}+1)({{3}^{{{x}_{2}}}}+1)}$，

∵${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$, ∴${{3}^{{{x}_{1}}}}-{{3}^{{{x}_{2}}}}<0,\ \ ({{3}^{{{x}_{1}}}}+1)({{3}^{{{x}_{2}}}}+1)>0$，

∴$f({{x}_{1}})-f({{x}_{2}})<0$，即$f({{x}_{1}})<f({{x}_{2}})$，

∴函数$f(x)$在$R$上是增函数。

（2）∵$f(x)=2-\dfrac{1}{{{3}^{x}}+1}$，假设函数$f(x)$为奇函数, 当且仅当$f(-x)=-f(x)$，

即$2-\dfrac{1}{{{3}^{-x}}+1}=-2+\dfrac{1}{{{3}^{x}}+1}$，

∴$4=\dfrac{1}{{{3}^{x}}+1}+\dfrac{1}{{{3}^{-x}}+1}=\dfrac{1}{{{3}^{x}}+1}+\dfrac{{{3}^{x}}}{1+{{3}^{x}}}=1$，矛盾，

∴假设错误，函数$f(x)$不是奇函数。

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