专题01 函数问题的灵魂——定义域

【高考地位】
在函数的三要素中，函数的定义域是函数的灵魂，对应法则相同的函数只有在定义域相同时才算同一函数.定义域问题始终是函数中最重要的问题，许多问题的解决都是必须先解决定义域，不要就会出现问题.通过对近几年高考试题的分析看出，本课时内容也是高考考查的重点之一，题型是选择题、填空题．试题难度较小.
【方法点评】

方法一直接法

使用情景：
函数

$f(x)$ 的解析式已知的情况下
解题模板：
第一步找出函数

$f(x)$ 每个式子有意义的条件；
第二步列出不等式或不等式组；
第三步解不等式或不等式组，即得到函数

$f(x)$ 的定义域.

例1 求函数

$y=\sqrt{2{{x}^{2}}+5x-3}$ 的定义域.

答案：

$\{x|x\geqslant \dfrac{1}{2}$ 或

$x\leqslant -3\}$
解析：要使原式有意义要满足：

$2{{x}^{2}}+5x-3\geqslant 0$
所以

$(2x-1)(x+3)\geqslant 0$
解得

$x\geqslant \dfrac{1}{2}$ 或

$x\leqslant -3$
所以函数的定义域为

$\{x|x\geqslant \dfrac{1}{2}$ 或

$x\leqslant -3\}$
点评：对于类似例题的结构单一的函数，可以直接列出不等式再解答即可得到函数的定义域.

变式演练1：求函数

$y=\sqrt{\dfrac{x+2}{x+1}}$ 的定义域.

答案：

$\{x|x>-1或x\leqslant -2\}$
解析：要使原式有意义需要满足：

$\dfrac{x+2}{x+1}\geqslant 0$ ，
解得

$x>-1或x\leqslant -2$
所以函数的定义域为

$\{x|x>-1或x\leqslant -2\}$ 。

例2.函数

$f(x)=\sqrt{2{{x}^{2}}+x-3}+{{\log }_{3}}(3+2x-{{x}^{2}})$ 定义域为________.
答案：

$[1,3)$
解析：
试题分析：由题意得，函数满足

$\begin{cases} 2{{x}^{2}}+x-3\geqslant 0 \\ 3+2x-{{x}^{2}}>0 \end{cases}$ ，
解得

$\left\{ \begin{align}& x\leqslant -\dfrac{3}{2}或x\geqslant 1 \\& -1<x<3 \end{align} \right.$ ，
即

$1\leqslant x<3$ ，
所以函数的定义域为

$[1,3)$ .
考点：函数的定义域.
点评：本题主要考查了函数的定义域的求解、一元二次不等式的求解、集合的运算等知识点的综合应用，解答中根据函数的解析式，列出相应的不等式组，求解每个不等式的解集，取交集得到函数的定义域，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的推理与运算能力，属于中档试题.

变式演练2：若函数

$f\left( x \right)=\sqrt{{{x}^{2}}+ax+1}$ 的定义域为

$R$ ，则实数

$a$ 取值范围是（）
A．

$\left[ -2,2 \right]$ B．

$\left( 2,+\infty \right)$ C．

$\left( -\infty ,2 \right)$ D．

$\left( -2,2 \right)$
答案：A
解析：
试题分析：由于函数

$f\left( x \right)=\sqrt{{{x}^{2}}+ax+1}$ 的定义域为R，
所以

${{x}^{2}}+ax+1\geqslant \text{0}$ 在R上恒成立，
即方程

${{x}^{2}}+ax+1\text{=0}$ 至多有一个解，
所以

$\Delta \text{=}{{a}^{\text{2}}}-4\leqslant \text{0}$ ，
解得

$-2\leqslant a\leqslant 2$ ，
则实数

$a$ 的取值范围是

$\left[ -2,2 \right]$ .故选A.
考点：二次函数的图像与性质.

例3.求函数

$y={{\log }_{a}}({{a}^{x}}-1)(a>0 \text{且}a\ne 1)$ 的定义域.
答案：
当

$a>1$ 时，函数的定义域为

$\{x|x>0\}$ ；
当

$0<a<1$ 时，函数的定义域为

$\{x|x<0\}$ .
解析：要使原式有意义需要满足

${{a}^{x}}-1>0$ ，
即

${{a}^{x}}>1={{a}^{0}}$
当

$a>1$ 时，

$y={{a}^{x}}$ 是

$R$ 上的增函数，所以

$x>0$ ；
当

$0<a<1$ 时，

$y={{a}^{x}}$ 是

$R$ 上的减函数，所以

$x<0$ ；
综上所述，当

$a>1$ 时，函数的定义域为

$\{x|x>0\}$ ；
当

$0<a<1$ 时，函数的定义域为

$\{x|x<0\}$ .
点评：
（1）求含有参数的函数的定义域时，注意在适当的地方分类讨论.
（2）对于指数函数和对数函数，如果已知条件中，没有给定底数

$a$ 的取值范围，一般要分类讨论.

变式演练3：已知函数

$f\left( x \right)=\dfrac{\sqrt[3]{3x-1}}{a{{x}^{2}}+ax-3}$ 的定义域是R，则实数

$a$ 的取值范围是（）
A．

$-12<a\leqslant 0$ B．

$-12<a<0$ C．

$a>\dfrac{1}{3}$ D．

$a\leqslant \dfrac{1}{3}$
答案：A
解析：
试题分析：函数

$f\left( x \right)=\dfrac{\sqrt[3]{3x-1}}{a{{x}^{2}}+ax-3}$ 的定义域为R，只需分母不为0即可，
所以

$a=0$ 或

$\begin{cases} a\ne 0 \\ \Delta ={{a}^{2}}-4a\times (-3)<0 \end{cases}$
可得

$-12<a\leqslant 0$ ，
故选A。
考点：函数的定义域及其求法．

高考真题：
【2013年高考数学广东（文）2】
【2013年高考数学山东（文）5】
【2013年高考数学安徽（文）11】
【2014年高考数学江西（理）2】
【2014年高考数学山东（理）3】
【2014年高考数学山东（文）3】
【2015年高考数学重庆（文）3】
【2015年高考数学湖北（文）6】
【2016年高考数学江苏5】

方法二抽象复合法

使用情景：涉及到抽象函数
解题模板：利用抽象复合函数的性质解答：
（1）已知原函数

$f(x)$ 的定义域为

$(a,b)$ ，求复合函数

$f\left[ g(x) \right]$ 的定义域：
只需解不等式

$a<g(x)<b$ ，不等式的解集即为所求函数的定义域.
（2）已知复合函数

$f\left[ g(x) \right]$ 的定义域为

$\left( a,b \right)$ ，求原函数

$f(x)$ 的定义域：
只需根据

$a<x<b$ 求出函数

$g(x)$ 的值域，即得原函数

$f(x)$ 的定义域.

例4求下列函数的定义域：
（1）已知函数

$f(x)$ 的定义域为

$\left[ -2,2 \right]$ ，求函数

$y=f({{x}^{2}}-1)$ 的定义域.
（2）已知函数

$y=f(2x+4)$ 的定义域为

$\left[ 0,1 \right]$ ，求函数

$f(x)$ 的定义域.
（3）已知函数

$f(x)$ 的定义域为

$\left[ -1,2 \right]$ ，求函数

$y=f(x+1)-f({{x}^{2}}-1)$ 的定义域.
答案：
（1）

$\left[ -\sqrt{3},\sqrt{3} \right]$ ；
（2）

$\left[ 4,6 \right]$ ；
（3）

$\left[ -\sqrt{3},1 \right]$ .
解析：
（1）
令

$-2\leqslant {{x}^{2}}-1\leqslant 2$ ，
得

$-1\leqslant {{x}^{2}}\leqslant 3$ ，
即

$0\leqslant {{x}^{2}}\leqslant 3$ ，
从而

$-\sqrt{3}\le x\leqslant \sqrt{3}$
∴函数

$y=f({{x}^{2}}-1)$ 的定义域为

$\left[ -\sqrt{3},\sqrt{3} \right]$ .
（2）
∵

$y=f(2x+4)$ 的定义域为

$\left[ 0,1 \right]$ ，
即在

$y=f(2x+4)$ 中

$x\in \left[ 0,1 \right]$ ，
令

$t=2x+4$ ，

$x\in \left[ 0,1 \right]$
则

$t\in \left[ 4,6 \right]$ ，
即在

$f(t)$ 中，

$t\in \left[ 4,6 \right]$ ，
∴

$f(x)$ 的定义域为

$\left[ 4,6 \right]$ .
（3）
由题得

$\left\{ \begin{matrix} -1\leqslant x+1\leqslant 2 \\ -1\le {{x}^{2}}-1\leqslant 2 \end{matrix} \right.$
∴

$-\sqrt{3}\le x\leqslant 1$
∴函数

$y=f(x+1)-f({{x}^{2}}-1)$ 的定义域为

$\left[ -\sqrt{3},1 \right]$ .
点评：
（1）已知原函数

$f(x)$ 的定义域为

$\left( a,b \right)$ ，求复合函数

$f\left[ g(x) \right]$ 的定义域：只需解不等式

$a<g(x)<b$ ，不等式的解集即为所求函数的定义域.第1小题就是典型的例子；
（2）已知复合函数

$f\left[ g(x) \right]$ 的定义域为

$\left( a,b \right)$ ，求原函数

$f(x)$ 的定义域：只需根据

$a<x<b$ 求出函数

$g(x)$ 的值域，即得原函数

$f(x)$ 的定义域.第2小题就是典型的例子；
（3）求函数

$y=f(x)+g(x)$ 的定义域，一般先分别求函数

$y=f(x)$ 和函数

$y=g(x)$ 的定义域

$A$ 和

$B$ ，再求

$A\cap B$ ，即为所求函数的定义域.

变式演练4：若函数

$y=f\left( x \right)$ 的定义域是

$\left[ 1,2016 \right]$ ，则函数

$g\left( x \right)=f\left( x+1 \right)$ 的定义域是（）
A．

$\left( 0,2016 \right]$ B．

$\left[ 0,2015 \right]$ C．

$\left( 1,2016 \right]$ D．

$\left[ 1,2017 \right]$
答案：B
解析：
试题分析：因为函数

$y=f\left( x \right)$ 的定义域是

$\left[ 1,2016 \right]$ ，即

$1\leqslant x\leqslant 2016$ ，则函数

$g\left( x \right)=f\left( x+1 \right)$ 的定义域是

$1\leqslant x+1\leqslant 2016$ ，∴

$0\leqslant x\leqslant 2015$ ，即

$x\in \left[ 0,2015 \right]$ ，故选B
考点：复合函数的定义域

变式演练5：已知函数

$f\left( 2x+1 \right)$ 的定义域为

$\left( -2,\dfrac{1}{2} \right)$ ，则

$f(x)$ 的定义域为（）
A．

$\left( -\dfrac{3}{2},\dfrac{1}{4} \right)$ B．

$\left( -1,\dfrac{3}{2} \right)$ C．

$\left( -3,2 \right)$ D．

$\left( -3,3 \right)$
答案：

$C$ ．
解析：因为函数

$f\left( 2x+1 \right)$ 的定义域为

$\left( -2,\dfrac{1}{2} \right)$ ，所以

$2x+1\in (-3,2)$ ，所以函数

$f(x)$ 的定义域为

$(-3,2)$ ．故应选

$C$ ．

变式演练6：已知函数

$y=f\left( x+1 \right)$ 的定义域是

$\left[ -2,3 \right]$ ，则

$y=f\left( x-1 \right)$ 的定义域是（）
A．

$\left[ 0,5 \right]$ B．

$\left[ -1,4 \right]$ C．

$\left[ -3,2 \right]$ D．

$\left[ -2,3 \right]$
答案：A
解析：
试题分析：因为

$y=f\left( x+1 \right)$ 的定义域是

$\left[ -2,3 \right]$ ，
即

$x\in \left[ -2,3 \right]$ ，
所以

$x+1\in \left[ -1,4 \right]$ ，
所以函数

$f(x)$ 的定义域为

$\left[ -1,4 \right]$ ，
由

$-1\leqslant x-1\leqslant 4$ 得

$0\leqslant x\leqslant 5$ ，
所以函数

$y=f\left( x-1 \right)$ 的定义域是

$\left[ 0,5 \right]$ ，
故选A。
考点：抽象函数的定义域.

【2013年高考数学大纲（理）4】

方法三实际问题的定义域

使用情景：函数的实际应用问题
解题模板：第一步    求函数的自变量的取值范围；
第二步    考虑自变量的实际限制条件；
第三步    取前后两者的交集，即得函数的定义域.

例5   用长为

$L$ 的铁丝编成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图所示）.若矩形底边长为

$2x$ ，求此框架围成的面积

$y$ 与关于

$x$ 的函数解析式，并求出它的定义域.

答案：

$y=-\dfrac{\pi +4}{2}{{x}^{2}}+Lx$ ，函数的定义域为

$\left( 0,\dfrac{L}{\pi +2} \right)$
解析：如图，设

$AB=2x$ ，则

$\overset\frown{CD}=\pi x$
于是

$AD=\dfrac{L-2x-\pi x}{2}$
因此

$y=2x\times \dfrac{L-2x-\pi x}{2}+\dfrac{\pi {{x}^{2}}}{2}$
即

$y=-\dfrac{\pi +4}{2}{{x}^{2}}+Lx$
再由题得

$\left\{ \begin{matrix} 2x>0 \\ \dfrac{L-2x-\pi x}{2}>0 \end{matrix} \right.$
解之得

$0<x<\dfrac{L}{2+\pi }$
所以函数解析式是

$y=-\dfrac{\pi +4}{2}{{x}^{2}}+Lx$ ，
函数的定义域是

$\left( 0,\dfrac{L}{\pi +2} \right)$
点评：
（1）求实际问题中函数的定义域，不仅要考虑解析式本身有意义的条件，还有保证实际意义；
（2）该题中考虑实际意义时，必须保证解答过程中的每一个变量都要有意义，即

$\left\{ \begin{matrix} 2x>0 \\ \dfrac{L-2x-\pi x}{2}>0 \end{matrix} \right.$ ，不能遗漏.

变式演练7：某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为

$\dfrac{80\pi }{3}$ 立方米，且l≥2r．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c（c＞3）千元．设该容器的建造费用为y千元．写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；