|
2024年高考数学新高考Ⅱ-9<-->2023年高考数学新高考Ⅱ-11
（6分）抛物线$C:y^{2}=4x$的准线为$l$，$P$为$C$上的动点，对$P$作$\odot A:x^{2}+(y-4)^{2}=1$的一条切线，$Q$为切点，对$P$作$l$的垂线，垂足为$B$，则( )
A．$l$与$\odot A$相切
B．当$P$，$A$，$B$三点共线时，$\vert PQ\vert =\sqrt{15}$
C．当$\vert PB\vert =2$时，$PA\bot AB$
D．满足$\vert PA\vert =\vert PB\vert$的点$P$有且仅有2个
答案：ABD
分析：选项$A$中，抛物线的准线为$x=-1$，判断是圆$A$的一条切线；
选项$B$中，当$P$、$A$、$B$三点共线时，求出点$P$，计算$PQ$即可；
选项$C$中，当$PB=2$时，$PA$与$AB$并不垂直；
选项$D$中，由$PB=PF$得出$P$在$AF$的中垂线上，判断该直线与抛物线有两交点．
解：对于$A$，抛物线$y^{2}=4x$的准线为$x=-1$，是$x^{2}+(y-4)^{2}=1$的一条切线，选项$A$正确；
对于$B$，$\odot A$的圆心为$A(0,4)$，当$P$、$A$、$B$三点共线时，$P(4,4)$，所以$PQ=\sqrt{PA^2-r^2}=\sqrt{4^2-1^2}=\sqrt{15}$，选项$B$正确；
对于$C$，当$PB=2$时，$P(1,2)$，$B(-1,2)$，$PA$与$AB$并不垂直，选项$C$错误；
对于$D$，焦点$F(1,0)$，$PB=PF$，则$PA=PB$等价于$P$在$AF$的中垂线上，该直线的方程为$y=\dfrac{1}{4}x+\dfrac{15}{8}$，它与抛物线有两交点，选项$D$正确．
故选：ABD．
点评：本题考查了直线与抛物线方程应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题．
2024年高考数学新高考Ⅱ-9<-->2023年高考数学新高考Ⅱ-11
全网搜索"2024年高考数学新高考Ⅱ-10"相关
|
