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2024年高考数学新高考Ⅰ-14<-->2024年高考数学新高考Ⅰ-16
（13分）记$\Delta ABC$的内角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$，已知$\sin C=\sqrt{2}\cos B$，$a^{2}+b^{2}-c^{2}=\sqrt{2}ab$．
（1）求$B$；
（2）若$\Delta ABC$的面积为$3+\sqrt{3}$，求$c$．
答案：（1）$\dfrac{\pi }{3}$；
（2）$2\sqrt{2}$．
分析：（1）利用余弦定理化简$a^{2}+b^{2}-c^{2}=\sqrt{2}ab$，得到$C=\dfrac{\pi }{4}$，由此算出$\cos B=\dfrac{1}{2}$，结合$B\in (0,\pi )$，可得角$B$的大小；
（2）设$\Delta ABC$的外接圆半径为$R$，由$\Delta ABC$的面积为$3+\sqrt{3}$建立关于$R$的方程，解出$R$的值，进而利用正弦定理算出边$c$的值．
解：（1）因为$a^{2}+b^{2}-c^{2}=\sqrt{2}ab$，
所以$\cos C=\dfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}=\dfrac{\sqrt{2}ab}{2ab}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，
结合$C$为三角形的内角，可得$C=\dfrac{\pi }{4}$．
因为$\sin C=\sqrt{2}\cos B=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，
所以$\cos B=\dfrac{1}{2}$，
结合$B\in (0,\pi )$，得$B=\dfrac{\pi }{3}$；
（2）由（1）可知$A=\pi -B-C=\dfrac{5\pi }{12}$，设$\Delta ABC$的外接圆半径为$R$，
由正弦定理得$b=2R\sin B=\sqrt{3}R$，$c=2R\sin C=\sqrt{2}R$，
由$S_{\Delta ABC}=\dfrac{1}{2}bc\sin A=3+\sqrt{3}$，
得$\dfrac{1}{2}\cdot \sqrt{3}R\cdot \sqrt{2}R\cdot \sin \dfrac{5\pi }{12}=3+\sqrt{3}$，
即$\dfrac{\sqrt{6}R^{2}}{2}\cdot \dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=3+\sqrt{3}$，
解得$R^{2}=4$，所以$R=2$（舍负），
可得$c=\sqrt{2}R=2\sqrt{2}$．
点评：本题主要考查正弦定理与余弦定理、三角形的面积公式及其应用，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．
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