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2024年高考数学新高考Ⅰ-13

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（5分）若曲线

$y=e^{x}+x$ 在点

$(0,1)$ 处的切线也是曲线

$y=\ln (x+1)+a$ 的切线，则

$a=$ ____．
答案：

$\ln 2$ ．
分析：求解切线方程，利用已知条件，求解曲线

$y=\ln (x+1)+a$ 的切点坐标，即可得到

$a$ 的值．
解：曲线

$y=e^{x}+x$ ，可得

$y\prime =e^{x}+1$ ，
在点

$(0,1)$ 处切线的斜率为：

$e^{0}+1=2$ ，
切线方程为：

$y-1=2x$ ，即

$y=2x+1$ ．
曲线

$y=e^{x}+x$ 在点

$(0,1)$ 处的切线也是曲线

$y=\ln (x+1)+a$ 的切线，
设

$y=\ln (x+1)+a$ 的切点的横坐标为

$x$ ，可得切线的斜率为：

$\dfrac{1}{x+1}=2$ ，可得

$x=-\dfrac{1}{2}$ ，

$x=-\dfrac{1}{2}$ 代入

$y=2x+1$ ，可得切点坐标为：

$(-\dfrac{1}{2}$ ，

$0)$ ，
切点在曲线

$y=\ln (x+1)+a$ 上，所以

$0=\ln (-\dfrac{1}{2}+1)+a$ ，解得

$a=\ln 2$ ．
故答案为：

$\ln 2$ ．
点评：本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查发现问题解决问题的能力，是中档题．

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