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2024年高考数学新高考Ⅰ-12<-->2024年高考数学新高考Ⅰ-14
（5分）若曲线$y=e^{x}+x$在点$(0,1)$处的切线也是曲线$y=\ln (x+1)+a$的切线，则$a=$____．
答案：$\ln 2$．
分析：求解切线方程，利用已知条件，求解曲线$y=\ln (x+1)+a$的切点坐标，即可得到$a$的值．
解：曲线$y=e^{x}+x$，可得$y\prime =e^{x}+1$，
在点$(0,1)$处切线的斜率为：$e^{0}+1=2$，
切线方程为：$y-1=2x$，即$y=2x+1$．
曲线$y=e^{x}+x$在点$(0,1)$处的切线也是曲线$y=\ln (x+1)+a$的切线，
设$y=\ln (x+1)+a$的切点的横坐标为$x$，可得切线的斜率为：$\dfrac{1}{x+1}=2$，可得$x=-\dfrac{1}{2}$，
$x=-\dfrac{1}{2}$代入$y=2x+1$，可得切点坐标为：$(-\dfrac{1}{2}$，$0)$，
切点在曲线$y=\ln (x+1)+a$上，所以$0=\ln (-\dfrac{1}{2}+1)+a$，解得$a=\ln 2$．
故答案为：$\ln 2$．
点评：本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查发现问题解决问题的能力，是中档题．
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