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2024年高考数学上海春20

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（18分）在平面直角坐标系

$xOy$ 中，已知点

$A$ 为椭圆

$\Gamma :\dfrac{{x}^{2}}{6}+\dfrac{{y}^{2}}{2}=1$ 上一点，

$F_{1}$ 、

$F_{2}$ 分别为椭圆的左、右焦点．
（1）若点

$A$ 的横坐标为2，求

$\vert AF_{1}\vert$ 的长；
（2）设

$\Gamma$ 的上、下顶点分别为

$M_{1}$ 、

$M_{2}$ ，记△

$AF_{1}F_{2}$ 的面积为

$S_{1}$ ，△

$AM_{1}M_{2}$ 的面积为

$S_{2}$ ，若

$S_{1}\geqslant S_{2}$ ，求

$\vert OA\vert$ 的取值范围．
（3）若点

$A$ 在

$x$ 轴上方，设直线

$AF_{2}$ 与

$\Gamma$ 交于点

$B$ ，与

$y$ 轴交于点

$K$ ，

$KF_{1}$ 延长线与

$\Gamma$ 交于点

$C$ ，是否存在

$x$ 轴上方的点

$C$ ，使得

$C$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

答案：（1）

$\dfrac{5\sqrt{6}}{3}$ ；
（2）

$(\sqrt{2},\dfrac{3\sqrt{10}}{5})$ ；
（3）存在

$C(-\dfrac{9}{4},\dfrac{\sqrt{5}}{4})$ 满足条件．

分析：（1）由题意，设出点

$A$ 的坐标，将点

$A$ 的坐标代入椭圆方程中再结合公式进行求解即可；
（2）设出点

$A$ 的坐标，结合三角形面积公式以及题目所给信息，列出等式再进行求解即可；
（3）设出

$A$ ，

$B$ 两点的坐标，根据对称性得到点

$C$ 的坐标，利用向量的运算以及题目所给信息求出

$y_{2}+2y_{1}=0$ ，设出直线

$AF_{2}$ 的方程，将直线

$AF_{2}$ 的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理以及点

$A$ 在直线

$AF_{2}$ 上，即可求出满足条件的

$C$ 点坐标．

解：（1）因为点

$A$ 的横坐标为2，
不妨设

$A(2,y)$ ，
因为点

$A$ 在椭圆

$\Gamma$ 上，
所以

$\dfrac{{2}^{2}}{6}+\dfrac{{y}^{2}}{2}=1$ ，
解得

${y}^{2}=\dfrac{2}{3}$ ，
易知

$F_{1}(-2,0)$ ，
所以

$\vert A{F}_{1}\vert =\sqrt{[2-(-2)]^{2}+(y-0)^{2}}=\dfrac{5\sqrt{6}}{3}$ ；
（2）不妨设

$A(x,y)$ ，

$xy\ne 0$ ，
此时

${S}_{1}=\dfrac{1}{2}\vert {F}_{1}{F}_{2}\vert \vert y\vert =2\vert y\vert ,{S}_{2}=\dfrac{1}{2}\vert {M}_{1}{M}_{2}\vert \vert x\vert =\sqrt{2}\vert x\vert$ ，
因为

$S_{1}\geqslant S_{2}$ ，
所以

$2\vert y\vert \geqslant \sqrt{2}\vert x\vert$ ，
即

$2y^{2}\geqslant x^{2}$ ，
又

$\dfrac{{x}^{2}}{6}+\dfrac{{y}^{2}}{2}=1$ ，
所以

$2y^{2}\geqslant 6-3y^{2}$ ，
解得

$\dfrac{6}{5}\leqslant {y}^{2} < 2$ ，
则

$\vert OA\vert =\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}=\sqrt{(6-3{y}^{2})+{y}^{2}}=\sqrt{6-2{y}^{2}}$ ，
故

$\vert OA\vert$ 的范围为

$(\sqrt{2}$ ，

$\dfrac{3\sqrt{10}}{5}]$ ；
（3）不妨设

$A(x_{1}$ ，

$y_{1})$ ，

$y_{1} > 0$ ，

$B(x_{2}$ ，

$y_{2})$ ，
由对称性可得

$A$ 、

$C$ 关于

$y$ 轴对称，
所以

$C(-x_{1}$ ，

$y_{1})$ ，
又

$F_{1}(-2,0)$ ，

$F_{2}(2,0)$ ，
此时

$\overrightarrow{{F}_{1}A}=({x}_{1}+2,{y}_{1}),\overrightarrow{{F}_{1}B}=({x}_{2}+2,{y}_{2}),\overrightarrow{{F}_{1}C}=(-{x}_{1}+2,{y}_{1})$ ，
所以

$\overrightarrow{{F}_{1}A}+\overrightarrow{{F}_{1}B}+\overrightarrow{{F}_{1}C}=({x}_{2}+6,{y}_{2}+2{y}_{1})$ ，
同理得

$\overrightarrow{{F}_{2}A}+\overrightarrow{{F}_{2}B}+\overrightarrow{{F}_{2}C}=({x}_{2}-6,{y}_{2}+2{y}_{1})$ ，
因为

$\overrightarrow{{F}_{1}A}+\overrightarrow{{F}_{1}B}+\overrightarrow{{F}_{1}C}=\lambda (\overrightarrow{{F}_{2}A}+\overrightarrow{{F}_{2}B}+\overrightarrow{{F}_{2}C})(\lambda \in R)$ ，
所以

$\overrightarrow{{F}_{1}A}+\overrightarrow{{F}_{1}B}+\overrightarrow{{F}_{1}C}//\overrightarrow{{F}_{2}A}+\overrightarrow{{F}_{2}B}+\overrightarrow{{F}_{2}C}$ ，
解得

$y_{2}+2y_{1}=0$ 或

$\left\{\begin{array}{l}{y}_{2}+2{y}_{1}\ne 0\\ {x}_{2}+6={x}_{2}-6\end{array}\right.$ （无解），
不妨设直线

$AF_{2}:x=my+2$ ，
联立

$\left\{\begin{array}{l}{x=my+2}\\ {\dfrac{{x}^{2}}{6}+\dfrac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$ ，消去

$x$ 并整理得

$(m^{2}+3)y^{2}+4my-2=0$ ，
由韦达定理得

$\left\{\begin{array}{l}{y}_{1}{y}_{2}=-2{y}_{1}^{2}=\dfrac{-2}{{m}^{2}+3}\\ {y}_{1}+{y}_{2}=-{y}_{1}=-\dfrac{4m}{{m}^{2}+3}\end{array}\right.$ ，
解得

$m=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$ ，
此时

${y}_{1}=\dfrac{\sqrt{5}}{4}$ ，
又

$x_{1}=my_{1}+2$ ，
解得

${x}_{1}=\dfrac{9}{4}$ ，
此时

$C(-\dfrac{9}{4},\dfrac{\sqrt{5}}{4})$ ．
故存在

$x$ 轴上方的点

$C(-\dfrac{9}{4},\dfrac{\sqrt{5}}{4})$ ，使得

$\overrightarrow{{F}_{1}A}+\overrightarrow{{F}_{1}B}+\overrightarrow{{F}_{1}C}=\lambda (\overrightarrow{{F}_{2}A}+\overrightarrow{{F}_{2}B}+\overrightarrow{{F}_{2}C})(\lambda \in R)$ 成立．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．

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