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2024年高考数学甲卷-文16<-->2024年高考数学甲卷-文18
（12分）已知等比数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，且$2S_{n}=3a_{n+1}-3$．
（1）求$\{a_{n}\}$的通项公式；
（2）求数列$\{S_{n}\}$的通项公式．
分析：（1）由已知递推关系进行转化，然后结合等比数列的定义及通项公式即可求解；
（2）结合已知递推关系及（1）的结论即可求解．
解：（1）因为$2S_{n}=3a_{n+1}-3$，
所以$2S_{n+1}=3a_{n+2}-3$，
两式相减可得：$2a_{n+1}=3a_{n+2}-3a_{n+1}$，即$3a_{n+2}=5a_{n+1}$，
所以等比数列$\{a_{n}\}$的公比$q=\dfrac{5}{3}$，
又因为$2S_{1}=3a_{2}-3=5a_{1}-3$，
所以$a_{1}=1$，$a_n=(\dfrac{5}{3})^{n-1}$；
（2）因为$2S_{n}=3a_{n+1}-3$，
所以$S_n=\dfrac{3}{2}(a_{n+1}-1)=\dfrac{3}{2}[(\dfrac{5}{3})^n-1]$．
点评：本题主要考查了和与项的递推关系及等比数列的定义，通项公式的应用，属于中档题．
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