|
2023年高考数学新高考Ⅱ-21<-->返回列表
（12分）（1）证明：当$0 < x < 1$时，$x-x^{2} < \sin x < x$；
（2）已知函数$f(x)=\cos ax-\ln (1-x^{2})$，若$x=0$为$f(x)$的极大值点，求$a$的取值范围．
分析：（1）分别构造函数$g(x)=x-x^{2}-\sin x$，$h(x)=x-\sin x$，利用导数研究函数的单调性与最值，即可证明；
（2）分类讨论二阶导函数的符号，从而可得一阶导函数的符号，从而得原函数的单调性，从而可得极值点，即可得解．
（1）证明：设$g(x)=x-x^{2}-\sin x$，$x\in (0,1)$，
则$g\prime (x)=1-2x-\cos x$，$\therefore g\prime \prime (x)=-2+\sin x < 0$，
$\therefore g\prime (x)$在$(0,1)$上单调递减，
$\therefore g\prime (x) < g\prime (0)=0$，
$\therefore g(x)$在$(0,1)$上单调递减，
$\therefore g(x) < g(0)=0$，
即$x-x^{2}-\sin x < 0$，$x\in (0,1)$，
$\therefore x-x^{2} < \sin x$，$x\in (0,1)$，
设$h(x)=x-\sin x$，$x\in (0,1)$，
则$h\prime (x)=1-\cos x > 0$，
$\therefore h(x)$在$(0,1)$上单调递增，
$\therefore h(x) > h(0)=0$，$x\in (0,1)$，
即$x-\sin x > 0$，$x\in (0,1)$，
$\therefore \sin x < x$，$x\in (0,1)$，
综合可得：当$0 < x < 1$时，$x-x^{2} < \sin x < x$；
（2）解：$\because f\prime (x)=-a\sin ax+\dfrac{2x}{1-{x}^{2}}$，$\therefore f\prime \prime (x)=-{a}^{2}\cos ax+\dfrac{2+2{x}^{2}}{(1-{x}^{2})^{2}}$，
且$f\prime (0)=0$，$f\prime \prime (0)=-a^{2}+2$，
①若$f\prime \prime (0)=2-a^{2} > 0$，即$-\sqrt{2} < a < \sqrt{2}$时，
易知存在$t_{1} > 0$，使得$x\in (0,t_{1})$时，$f\prime \prime (x) > 0$，
$\therefore f\prime (x)$在$(0,t_{1})$上单调递增，$\therefore f\prime (x) > f\prime (0)=0$，
$\therefore f(x)$在$(0,t_{1})$上单调递增，这显然与$x=0$为函数的极大值点相矛盾，故舍去；
②若$f\prime \prime (0)=2-a^{2} < 0$，即$a < -\sqrt{2}$或$a > \sqrt{2}$时，
存在$t_{2} > 0$，使得$x\in (-t_{2}$，$t_{2})$时，$f\prime \prime (x) < 0$，
$\therefore f\prime (x)$在$(-t_{2}$，$t_{2})$上单调递减，又$f\prime (0)=0$，
$\therefore$当$-t_{2} < x < 0$时，$f\prime (x) > 0$，$f(x)$单调递增；
当$0 < x < t_{2}$时，$f\prime (x) < 0$，$f(x)$单调递减，满足$x=0$为$f(x)$的极大值点，符合题意；
③若$f\prime \prime (0)=2-a^{2}=0$，即$a=\pm \sqrt{2}$时，$\because f(x)$为偶函数，
$\therefore$只考虑$a=\sqrt{2}$的情况，
此时$f\prime (x)=-\sqrt{2}\sin (\sqrt{2}x)+\dfrac{2x}{1-{x}^{2}}$，$x\in (0,1)$时，
$f\prime (x) > -2x+\dfrac{2x}{1-{x}^{2}}=2x(\dfrac{1}{1-{x}^{2}}-1) > 0$，
$\therefore f(x)$在$(0,1)$上单调递增，与显然与$x=0$为函数的极大值点相矛盾，故舍去．
综合可得：$a$的取值范围为$(-\infty$，$-\sqrt{2})\bigcup (\sqrt{2}$，$+\infty )$．
点评：本题考查导数的综合应用，构造函数证明不等式，利用导数研究函数的单调性与极值，分类讨论思想，化归转化思想，属难题．
2023年高考数学新高考Ⅱ-21<-->返回列表
全网搜索"2023年高考数学新高考Ⅱ-22"相关
|
