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2023年高考数学新高考Ⅱ-17<-->2023年高考数学新高考Ⅱ-19
（12分）已知$\{a_{n}\}$为等差数列，${{b}_{n}}=\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{a}_{n}}-6,n \\
2{{a}_{n}},n \\
\end{array} \right.$，记$S_{n}$，$T_{n}$为$\{a_{n}\}$，$\{b_{n}\}$的前$n$项和，$S_{4}=32$，$T_{3}=16$．
（1）求$\{a_{n}\}$的通项公式；
（2）证明：当$n > 5$时，$T_{n} > S_{n}$．
分析：（1）根据已知条件，结合等差数列的性质，以及等差数列的前$n$项和公式，即可求解；
（2）根据已知条件，求出$T_{n}$，$S_{n}$，再结合作差法，并分类讨论，即可求证．
解：（1）设等差数列$\{a_{n}\}$的公差为$d$，
$S_{n}$，$T_{n}$为$\{a_{n}\}\{b_{n}\}$的前$n$项和，$S_{4}=32$，$T_{3}=16$，
则$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}+{a}_{4}=32}\\ {{a}_{1}-6+2{a}_{2}+{a}_{3}-6=16}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{4{a}_{1}+\dfrac{4(4-1)}{2}d=32}\\ {{a}_{2}=7}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=5}\\ {d=2}\end{array}\right.$，
故$a_{n}=5+2(n-1)=2n+3$；
（2）证明：由（1）可知，${{b}_{n}}=\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
2n-3,n \\
4n+6,n \\
\end{array} \right.$，
$S_n=\dfrac{(5+2n+3)n}{2}=(n+4)n$，
当$n$为偶数时，$n > 5$，
$T_{n}=-1+3+\cdot \cdot \cdot +2(n-1)-3+14+22+\cdot \cdot \cdot +4n+6$
$=\dfrac{\dfrac{n}{2}[-1+2(n-1)-3]}{2}+\dfrac{\dfrac{n}{2}(14+4n+6)}{2}=\dfrac{\dfrac{n}{2}(14+6n)}{2}=\dfrac{n(3n+7)}{2}$，
${T}_{n}-{S}_{n}=\dfrac{{n}^{2}-n}{2} > 0$，
当$n$为奇数时，$n > 5$，$T_{n}=T_{n-1}+b_{n}=\dfrac{(n-1)(3n+4)}{2}+2n-3=\dfrac{3{n}^{2}+5n-10}{2}$，
$T_{n}-S_{n}=\dfrac{{n}^{2}-3n-10}{2} > \dfrac{25-15-10}{2}=0$，
故原式得证．
点评：本题主要考查数列的求和，考查转化能力，属于中档题．
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