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2023年高考数学天津19<-->返回列表
（16分）已知函数$f(x)=(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2})\ln (x+1)$．
（Ⅰ）求曲线$y=f(x)$在$x=2$处的切线斜率；
（Ⅱ）当$x > 0$时，求证：$f(x) > 1$；
（Ⅲ）证明：$\dfrac{5}{6} < \ln (n!)-(n+\dfrac{1}{2})\ln n+n\leqslant 1$．
答案：（Ⅰ）$\dfrac{1}{3}-\dfrac{\ln 3}{4}$；（Ⅱ）证明过程见解答；（Ⅲ）证明过程见解答．
分析：（Ⅰ）对函数$f(x)$求导，求出$f\prime$（2）的值即可得解；
（Ⅱ）令$g(x)=f(x)-1$，先利用导数求出$g(x)$的单调性，由此容易得证；
（Ⅲ）设数列$\{a_{n}\}$ 的前$n$项和${S}_{n}=\ln (n!)-(n+\dfrac{1}{2})\ln n+n$，可得当$n\geqslant 2$时，$a_{n}=S_{n}-S_{n-1} < 0$，由此可知$S_{n}\leqslant S_{1}=1$，证得不等式右边；再证明对任意的$n\geqslant 2$，$\sum\limits_{k=2}^{n}(-{a}_{k})=\sum\limits_{k=2}^{n}(f(\dfrac{1}{k-1})-1)\leqslant \dfrac{1}{6}$，令$h(x)=\ln (x+1)-\dfrac{x(x+2)}{2(x+1)}$，利用导数可知$\ln (x+1) < \dfrac{x(x+2)}{2(x+1)}$，由此可得$\sum\limits_{k=4}^{n}(-{a}_{k}) < \dfrac{1}{10}$，再求得$-a_{2}$，$-a_{3}$，由此可得证不等式左边，进而得证．
解：（Ⅰ）对函数$f(x)$求导，可得$f\prime (x)=\dfrac{x+2}{2x(x+1)}-\dfrac{1}{x^2}\ln (x+1)$，
则曲线$y=f(x)$在$x=2$处的切线斜率为$f\prime$（2）$=\dfrac{1}{3}-\dfrac{\ln 3}{4}$；
（Ⅱ）证明：当$x > 0$时，$f(x) > 1$，即$\dfrac{x+2}{2x}\ln (x+1) > 1$，即$g(x)=\ln (x+1)-\dfrac{2x}{x+2} > 0$，
而$g'(x)=\dfrac{x^2}{(x+1)(x+2)^2} > 0,g(x)$ 在$(0,+\infty )$上单调递增，
因此$g(x) > g(0)=0$，原不等式得证；
（Ⅲ）证明：设数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和${S}_{n}=\ln (n!)-(n+\dfrac{1}{2})\ln n+n$，
则$a_{1}=S_{1}=1$；
当$n\geqslant 2$时，${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}=1+(n-\dfrac{1}{2})\ln \dfrac{n-1}{n}=1-(\dfrac{1}{\dfrac{1}{n-1}}+\dfrac{1}{2})\ln (1+\dfrac{1}{n-1})=1-f(\dfrac{1}{n-1})$，
由（2），$a_{n} < 0(n\geqslant 2)$，
故$S_{n}\leqslant S_{1}=1$，不等式右边得证；
要证$\dfrac{5}{6}\leqslant S_n$，只需证：对任意的$n\geqslant 2$，$\sum\limits_{k=2}^{n}(-{a}_{k})=\sum\limits_{k=2}^{n}(f(\dfrac{1}{k-1})-1)\leqslant \dfrac{1}{6}$，
令$h(x)=\ln (x+1)-\dfrac{x(x+2)}{2(x+1)}$，则$h'(x)=-\dfrac{x^2}{2(x+1)^2}$，
当$x > 0$时，$h\prime (x) < 0$，函数$h(x)$在$(0,+\infty )$上单调递减，
则$h(x) < 0$，即$\ln (x+1) < \dfrac{x(x+2)}{2(x+1)}$，
则$f(x)-1 < \dfrac{x+2}{2x}\cdot \dfrac{x(x+2)}{2(x+1)}-1=\dfrac{{x}^{2}}{4(x+1)} < \dfrac{{x}^{2}}{4}$，
因此当$k\geqslant 2$时，$f(\dfrac{1}{k-1})-1 < \dfrac{1}{4(k-1)^{2}} < \dfrac{1}{4(k-1)^{2}-1}=\dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{2k-3}-\dfrac{1}{2k-1})$，
当$n\geqslant 4$时，累加得
$\sum\limits_{k=4}^{n}(-{a}_{k})=\sum\limits_{k=4}^{n}(f(\dfrac{1}{k-1})-1) < \dfrac{1}{2}[(\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7})+(\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{9})+\ldots +(\dfrac{1}{2n-3}-\dfrac{1}{2n-1})]=\dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{2n-1}) < \dfrac{1}{10}$，
又$-{a}_{2}=f(1)-1=\dfrac{3}{2}\ln 2-1 < \dfrac{3}{2}\times 0.694-1=0.041$，$-{a}_{3}=\dfrac{5}{2}\ln \dfrac{3}{2}-1 < \dfrac{5}{2}(1.1-0.693)-1=0.0175$，
故$\sum\limits_{k=2}^{n}(-{a}_{k})=-{a}_{2}-{a}_{3}+\sum\limits_{k=4}^{n}(-{a}_{k})=0.041+0.0175+\dfrac{1}{10}=0.1585 < \dfrac{1}{6}$，即得证．
点评：本题考查导数的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于难题．
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