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2023年高考数学天津16

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（14分）在

$\Delta ABC$ 中，角

$A$ ，

$B$ ，

$C$ 的对边分别为

$a$ ，

$b$ ，

$c$ ．已知

$a=\sqrt{39}$ ，

$b=2$ ，

$\angle A=120^\circ$ ．
（Ⅰ）求

$\sin B$ 的值；
（Ⅱ）求

$c$ 的值；
（Ⅲ）求

$\sin (B-C)$ 的值．
答案：（Ⅰ）

$\dfrac{\sqrt{13}}{13}$ ；
（Ⅱ）

$c=5$ ；
（Ⅲ）

$-\dfrac{7\sqrt{3}}{26}$ ．
分析：（Ⅰ）根据已知条件，结合正弦定理，即可求解；
（Ⅱ）根据已知条件，结合余弦定理，即可求解；
（Ⅲ）根据已知条件，结合三角函数的同角公式，以及正弦的两角差公式，即可求解．
解：（Ⅰ）

$a=\sqrt{39}$ ，

$b=2$ ，

$\angle A=120^\circ$ ，
则

$\sin B=\dfrac{b\sin A}{a}=\dfrac{2\times \dfrac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{39}}=\dfrac{\sqrt{13}}{13}$ ；
（Ⅱ）

$a=\sqrt{39}$ ，

$b=2$ ，

$\angle A=120^\circ$ ，
则

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos A=4+c^{2}+2c=39$ ，化简整理可得，

$(c+7)(c-5)=0$ ，解得

$c=5$ （负值舍去）；
（Ⅲ）

$\cos B=\sqrt{1-si{n}^{2}B}=\dfrac{2\sqrt{39}}{13}$ ，

$c=5$ ，

$a=\sqrt{39}$ ，

$\angle A=120^\circ$ ，
则

$\sin C=\dfrac{c\sin A}{a}=\dfrac{5\times \dfrac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{39}}=\dfrac{5\sqrt{13}}{26}$ ，
故

$\cos C=\sqrt{1-si{n}^{2}C}=\dfrac{3\sqrt{39}}{26}$ ，
所以

$\sin (B-C)=\sin B\cos C-\sin C\cos B=\dfrac{\sqrt{13}}{13}\times \dfrac{3\sqrt{39}}{26}-\dfrac{5\sqrt{13}}{26}\times \dfrac{2\sqrt{39}}{13}=-\dfrac{7}{26}\sqrt{3}$ ．
点评：本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．

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