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2023年高考数学上海春11<-->2023年高考数学上海春13
（5分）已知→OA、→OB、→OC为空间中三组单位向量，且→OA⊥→OB、→OA⊥→OC，→OB与→OC夹角为60∘，点P为空间任意一点，且|→OP|=1，满足|→OP⋅→OC|⩽|→OP⋅→OB|⩽|→OP⋅→OA|，则|→OP⋅→OC|最大值为____．
分析：将问题坐标化，表示出→OA,→OB,→OC的坐标，再设→OP=(x,y,z)，代入条件，结合不等式的性质求解．
解：设→OA=(0,0,1)，→OB=(√32,12,0)，→OC=(0,1,0)，
→OP=(x,y,z)，不妨设x，y，z>0，则|→OP|=x2+y2+z2=1，
因为|→OP⋅→OC|⩽|→OP⋅→OB|⩽|→OP⋅→OA|，
所以y⩽√32x+12y⩽z，可得x⩾√33y，z⩾y，
所以1=x2+y2+z2⩾13y2+y2+y2，解得y2⩽37，
故→OP⋅→OC=y⩽√217．
故答案为：√217．
点评：本题考查空间向量的坐标运算以及不等式的性质，属于中档题．
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