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2023年高考数学上海10<-->2023年高考数学上海12
（5分）某公园欲建设一段斜坡，坡顶是一条直线，斜坡顶点距水平地面的高度为4米，坡面与水平面所成夹角为$\theta$．行人每沿着斜坡向上走$1m$消耗的体力为$(1.025-\cos \theta )$，欲使行人走上斜坡所消耗的总体力最小，则$\theta =$____．
答案：$\arccos \dfrac{40}{41}$．
分析：先求出斜坡的长度，求出上坡所消耗的总体力的函数关系，求出函数的导数，利用导数研究函数的最值即可．
解：
斜坡的长度为$l=\dfrac{4}{\sin \theta }$，
上坡所消耗的总体力$y=\dfrac{4}{\sin \theta }\times (1.025-\cos \theta )=\dfrac{4.1-4\cos \theta }{\sin \theta }$，
函数的导数$y\prime =\dfrac{4\sin \theta \cdot \sin \theta -(4.1-4\cos \theta )\cos \theta }{si{n}^{2}\theta }=\dfrac{4-4.1\cos \theta }{si{n}^{2}\theta }$，
由$y\prime =0$，得$4-4.1\cos \theta =0$，得$\cos \theta =\dfrac{40}{41}$，$\theta =\arccos \dfrac{40}{41}$，
由$f\prime (x) > 0$时$\cos \theta < \dfrac{40}{41}$，即$\arccos \dfrac{40}{41} < \theta < \dfrac{\pi }{2}$时，函数单调递增，
由$f\prime (x) < 0$时$\cos \theta > \dfrac{40}{41}$，即$0 < \theta < \arccos \dfrac{40}{41}$时，函数单调递减，
即$\theta =\arccos \dfrac{40}{41}$，函数取得最小值，即此时所消耗的总体力最小．
故答案为：$\theta =\arccos \dfrac{40}{41}$．
点评：本题主要考查生活的应用问题，求函数的导数，利用导数研究函数的最值是解决本题的关键，是中档题．
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