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2022年高考数学新高考Ⅱ-7<-->2022年高考数学新高考Ⅱ-9
（5分）已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)+f(x−y)=f(x)f(y)，f（1）=1，则22∑k=1f(k)=( )
A．−3 B．−2 C．0 D．1
分析：先根据题意求得函数f(x)的周期为6，再计算一个周期内的每个函数值，由此可得解．
解：令y=1，则f(x+1)+f(x−1)=f(x)，即f(x+1)=f(x)−f(x−1)，
∴f(x+2)=f(x+1)−f(x)，f(x+3)=f(x+2)−f(x+1)，
∴f(x+3)=−f(x)，则f(x+6)=−f(x+3)=f(x)，
∴f(x)的周期为6，
令x=1，y=0得f（1）+f（1）=f（1）×f(0)，解得f(0)=2，
又f(x+1)=f(x)−f(x−1)，
∴f（2）=f（1）−f(0)=−1，
f（3）=f（2）−f（1）=−2，
f（4）=f（3）−f（2）=−1，
f（5）=f（4）−f（3）=1，
f（6）=f（5）−f（4）=2，
∴6∑k=1f(k)=1−1−2−1+1+2=0，
∴22∑k=1f(k)=3×0+f(19)+f(20)+f(21)+f(22)=f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=−3．
故选：A．
点评：本题考查抽象函数以及函数周期性的运用，考查运算求解能力，属于中档题．
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