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2022年高考数学新高考Ⅱ-7<-->2022年高考数学新高考Ⅱ-9
（5分）已知函数$f(x)$的定义域为$R$，且$f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)$，$f$（1）$=1$，则$\sum\limits_{k=1}^{22}f(k)=($ )
A．$-3$ B．$-2$ C．0 D．1
分析：先根据题意求得函数$f(x)$的周期为6，再计算一个周期内的每个函数值，由此可得解．
解：令$y=1$，则$f(x+1)+f(x-1)=f(x)$，即$f(x+1)=f(x)-f(x-1)$，
$\therefore f(x+2)=f(x+1)-f(x)$，$f(x+3)=f(x+2)-f(x+1)$，
$\therefore f(x+3)=-f(x)$，则$f(x+6)=-f(x+3)=f(x)$，
$\therefore f(x)$的周期为6，
令$x=1$，$y=0$得$f$（1）$+f$（1）$=f$（1）$\times f(0)$，解得$f(0)=2$，
又$f(x+1)=f(x)-f(x-1)$，
$\therefore f$（2）$=f$（1）$-f(0)=-1$，
$f$（3）$=f$（2）$-f$（1）$=-2$，
$f$（4）$=f$（3）$-f$（2）$=-1$，
$f$（5）$=f$（4）$-f$（3）$=1$，
$f$（6）$=f$（5）$-f$（4）$=2$，
$\therefore$$\sum\limits_{k=1}^{6}f(k)=1-1-2-1+1+2=0$，
$\therefore$$\sum\limits_{k=1}^{22}f(k)=3\times 0+f(19)+f(20)+f(21)+f(22)=f$（1）$+f$（2）$+f$（3）$+f$（4）$=-3$．
故选：$A$．
点评：本题考查抽象函数以及函数周期性的运用，考查运算求解能力，属于中档题．
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