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2022年高考数学甲卷-理20

(12分)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点D(p,0),过F的直线交CMN两点.当直线MD垂直于x轴时,|MF|=3
(1)求C的方程;
(2)设直线MDNDC的另一个交点分别为AB,记直线MNAB的倾斜角分别为αβ.当αβ取得最大值时,求直线AB的方程.
分析:(1)由已知求得|MD|=2p|FD|=p2,则在RtΔMFD中,利用勾股定理得p=2,则C的方程可求;
(2)设MNAB的坐标,写出tanαtanβ,再由三点共线可得y3=8y1y4=8y2;由题意可知,直线MN的斜率不为0,设lMN:x=my+1,联立直线方程与抛物线方程,化为关于y的一元二次方程,利用根与系数的关系可得y1+y2=4my1y2=4,求得tanβtanα,再由两角差的正切及基本不等式判断,从而求得AB的方程.
解答:解:(1)由题意可知,当x=p时,y2=2p2,得yM=2p,可知|MD|=2p|FD|=p2
则在RtΔMFD中,|FD|2+|DM|2=|FM|2,得(p2)2+(2p)2=9,解得p=2
C的方程为y2=4x
(2)设M(x1y1)N(x2y2)A(x3y3)B(x4y4)
MNx轴垂直时,由对称性可知,AB也与x轴垂直,
此时α=β=π2,则αβ=0
由(1)可知F(1,0)D(2,0),则tanα=kMN=y1y2x1x2=y1y2y124y224=4y1+y2
NDB三点共线,则kND=kBD,即y20x22=y40x42
y20y2242=y40y4242
y2y4=8,即y4=8y2
同理由MDA三点共线,得y3=8y1
tanβ=y3y4x3x4=4y3+y4=y1y22(y1+y2)
由题意可知,直线MN的斜率不为0,设lMN:x=my+1
{y2=4xx=my+1,得y24my4=0
y1+y2=4my1y2=4,则tanα=44m=1mtanβ=42×4m=12m
tan(αβ)=tanαtanβ1+tanαtanβ=1m12m1+12m1m=12m+1m
tanα=1mtanβ=12m
tanαtanβ正负相同,
π2<αβ<π2
αβ取得最大值时,tan(αβ)取得最大值,
m>0时,tan(αβ)=12m+1m122m1m=24;当m<0时,tan(αβ)无最大值,
当且仅当2m=1m,即m=22时,等号成立,tan(αβ)取最大值,
此时AB的直线方程为yy3=4y3+y4(xx3),即4x(y3+y4)y+y3y4=0
y3+y4=8y18y2=8(y1+y2)y1y2=8m=42y3y4=8y18y2=16
AB的方程为4x42y16=0,即x2y4=0
解答:本题考查抛物线方程的求法,考查直线与抛物线位置关系的应用,考查运算求解能力,属难题.
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