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2022年高考数学甲卷-理19<-->2022年高考数学甲卷-理21
（12分）设抛物线$C:y^{2}=2px(p > 0)$的焦点为$F$，点$D(p,0)$，过$F$的直线交$C$于$M$，$N$两点．当直线$MD$垂直于$x$轴时，$\vert MF\vert =3$．
（1）求$C$的方程；
（2）设直线$MD$，$ND$与$C$的另一个交点分别为$A$，$B$，记直线$MN$，$AB$的倾斜角分别为$\alpha$，$\beta$．当$\alpha -\beta$取得最大值时，求直线$AB$的方程．
分析：（1）由已知求得$\vert MD\vert =\sqrt{2}p$，$\vert FD\vert =\dfrac{p}{2}$，则在$\rm{Rt}\Delta MFD$中，利用勾股定理得$p=2$，则$C$的方程可求；
（2）设$M$，$N$，$A$，$B$的坐标，写出$\tan \alpha$与$\tan \beta$，再由三点共线可得${y}_{3}=-\dfrac{8}{{y}_{1}}$，${y}_{4}=-\dfrac{8}{{y}_{2}}$；由题意可知，直线$MN$的斜率不为0，设$l_{MN}:x=my+1$，联立直线方程与抛物线方程，化为关于$y$的一元二次方程，利用根与系数的关系可得$y_{1}+y_{2}=4m$，$y_{1}y_{2}=-4$，求得$\tan \beta$与$\tan \alpha$，再由两角差的正切及基本不等式判断，从而求得$AB$的方程．
解答：解：（1）由题意可知，当$x=p$时，$y^{2}=2p^{2}$，得$y_{M}=\sqrt{2}p$，可知$\vert MD\vert =\sqrt{2}p$，$\vert FD\vert =\dfrac{p}{2}$．
则在$\rm{Rt}\Delta MFD$中，$\vert FD\vert ^{2}+\vert DM\vert ^{2}=\vert FM\vert ^{2}$，得$(\dfrac{p}{2})^{2}+(\sqrt{2}p)^{2}=9$，解得$p=2$．
则$C$的方程为$y^{2}=4x$；
（2）设$M(x_{1}$，$y_{1})$，$N(x_{2}$，$y_{2})$，$A(x_{3}$，$y_{3})$，$B(x_{4}$，$y_{4})$，
当$MN$与$x$轴垂直时，由对称性可知，$AB$也与$x$轴垂直，
此时$\alpha =\beta =\dfrac{\pi }{2}$，则$\alpha -\beta =0$，
由（1）可知$F(1,0)$，$D(2,0)$，则$\tan \alpha =k_{MN}=\dfrac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=\dfrac{{y}_{1}-{y}_{2}}{\dfrac{{{y}_{1}}^{2}}{4}-\dfrac{{{y}_{2}}^{2}}{4}}=\dfrac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，
又$N$、$D$、$B$三点共线，则$k_{ND}=k_{BD}$，即$\dfrac{{y}_{2}-0}{{x}_{2}-2}=\dfrac{{y}_{4}-0}{{x}_{4}-2}$，
$\therefore$$\dfrac{{y}_{2}-0}{\dfrac{{{y}_{2}}^{2}}{4}-2}=\dfrac{{y}_{4}-0}{\dfrac{{{y}_{4}}^{2}}{4}-2}$，
得$y_{2}y_{4}=-8$，即$y_{4}=-\dfrac{8}{{y}_{2}}$；
同理由$M$、$D$、$A$三点共线，得$y_{3}=-\dfrac{8}{{y}_{1}}$．
则$\tan \beta =\dfrac{{y}_{3}-{y}_{4}}{{x}_{3}-{x}_{4}}=\dfrac{4}{{y}_{3}+{y}_{4}}=\dfrac{{y}_{1}{y}_{2}}{-2({y}_{1}+{y}_{2})}$．
由题意可知，直线$MN$的斜率不为0，设$l_{MN}:x=my+1$，
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\ {x=my+1}\end{array}\right.$，得$y^{2}-4my-4=0$，
$y_{1}+y_{2}=4m$，$y_{1}y_{2}=-4$，则$\tan \alpha =\dfrac{4}{4m}=\dfrac{1}{m}$，$\tan \beta =\dfrac{-4}{-2\times 4m}=\dfrac{1}{2m}$，
则$\tan (\alpha -\beta )=\dfrac{\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }=\dfrac{\dfrac{1}{m}-\dfrac{1}{2m}}{1+\dfrac{1}{2m}\cdot \dfrac{1}{m}}=\dfrac{1}{2m+\dfrac{1}{m}}$，
$\because$$\tan \alpha =\dfrac{1}{m}$，$\tan \beta =\dfrac{1}{2m}$，
$\therefore \tan \alpha$与$\tan \beta$正负相同，
$\therefore$$-\dfrac{\pi }{2} < \alpha -\beta < \dfrac{\pi }{2}$，
$\therefore$当$\alpha -\beta$取得最大值时，$\tan (\alpha -\beta )$取得最大值，
当$m > 0$时，$\tan (\alpha -\beta )=\dfrac{1}{2m+\dfrac{1}{m}}\leqslant \dfrac{1}{2\sqrt{2m\cdot \dfrac{1}{m}}}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}$；当$m < 0$时，$\tan (\alpha -\beta )$无最大值，
$\therefore$当且仅当$2m=\dfrac{1}{m}$，即$m=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$时，等号成立，$\tan (\alpha -\beta )$取最大值，
此时$AB$的直线方程为$y-y_{3}=\dfrac{4}{{y}_{3}+{y}_{4}}(x-{x}_{3})$，即$4x-(y_{3}+y_{4})y+y_{3}y_{4}=0$，
又$\because y_{3}+y_{4}=-\dfrac{8}{{y}_{1}}-\dfrac{8}{{y}_{2}}=\dfrac{-8({y}_{1}+{y}_{2})}{{y}_{1}{y}_{2}}=8m=4\sqrt{2}$，$y_{3}y_{4}=\dfrac{-8}{{y}_{1}}\cdot \dfrac{-8}{{y}_{2}}=-16$，
$\therefore AB$的方程为$4x-4\sqrt{2}y-16=0$，即$x-\sqrt{2}y-4=0$．
解答：本题考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查运算求解能力，属难题．
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