2022年高考数学甲卷-理19<-->2022年高考数学甲卷-理21
(12分)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点D(p,0),过F的直线交C于M,N两点.当直线MD垂直于x轴时,|MF|=3. (1)求C的方程; (2)设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A,B,记直线MN,AB的倾斜角分别为α,β.当α−β取得最大值时,求直线AB的方程. 分析:(1)由已知求得|MD|=√2p,|FD|=p2,则在RtΔMFD中,利用勾股定理得p=2,则C的方程可求; (2)设M,N,A,B的坐标,写出tanα与tanβ,再由三点共线可得y3=−8y1,y4=−8y2;由题意可知,直线MN的斜率不为0,设lMN:x=my+1,联立直线方程与抛物线方程,化为关于y的一元二次方程,利用根与系数的关系可得y1+y2=4m,y1y2=−4,求得tanβ与tanα,再由两角差的正切及基本不等式判断,从而求得AB的方程. 解答:解:(1)由题意可知,当x=p时,y2=2p2,得yM=√2p,可知|MD|=√2p,|FD|=p2. 则在RtΔMFD中,|FD|2+|DM|2=|FM|2,得(p2)2+(√2p)2=9,解得p=2. 则C的方程为y2=4x; (2)设M(x1,y1),N(x2,y2),A(x3,y3),B(x4,y4), 当MN与x轴垂直时,由对称性可知,AB也与x轴垂直, 此时α=β=π2,则α−β=0, 由(1)可知F(1,0),D(2,0),则tanα=kMN=y1−y2x1−x2=y1−y2y124−y224=4y1+y2, 又N、D、B三点共线,则kND=kBD,即y2−0x2−2=y4−0x4−2, ∴y2−0y224−2=y4−0y424−2, 得y2y4=−8,即y4=−8y2; 同理由M、D、A三点共线,得y3=−8y1. 则tanβ=y3−y4x3−x4=4y3+y4=y1y2−2(y1+y2). 由题意可知,直线MN的斜率不为0,设lMN:x=my+1, 由{y2=4xx=my+1,得y2−4my−4=0, y1+y2=4m,y1y2=−4,则tanα=44m=1m,tanβ=−4−2×4m=12m, 则tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ=1m−12m1+12m⋅1m=12m+1m, ∵tanα=1m,tanβ=12m, ∴tanα与tanβ正负相同, ∴−π2<α−β<π2, ∴当α−β取得最大值时,tan(α−β)取得最大值, 当m>0时,tan(α−β)=12m+1m⩽12√2m⋅1m=√24;当m<0时,tan(α−β)无最大值, ∴当且仅当2m=1m,即m=√22时,等号成立,tan(α−β)取最大值, 此时AB的直线方程为y−y3=4y3+y4(x−x3),即4x−(y3+y4)y+y3y4=0, 又∵y3+y4=−8y1−8y2=−8(y1+y2)y1y2=8m=4√2,y3y4=−8y1⋅−8y2=−16, ∴AB的方程为4x−4√2y−16=0,即x−√2y−4=0. 解答:本题考查抛物线方程的求法,考查直线与抛物线位置关系的应用,考查运算求解能力,属难题.
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