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2022年高考数学甲卷-理11<-->2022年高考数学甲卷-理13
（5分）已知$a=\dfrac{31}{32}$，$b=\cos \dfrac{1}{4}$，$c=4\sin \dfrac{1}{4}$，则( )
A．$c > b > a$ B．$b > a > c$ C．$a > b > c$ D．$a > c > b$
分析：构造函数$f(x)=\cos x+\dfrac{1}{2}{x}^{2}-1$，$(0 < x < 1)$，可得$\cos \dfrac{1}{4} > \dfrac{31}{32}$，即$b > a$，利用三角函数线可得$\tan x > x$，即$\tan \dfrac{1}{4} > \dfrac{1}{4}$，即$\dfrac{\sin \dfrac{1}{4}}{\cos \dfrac{1}{4}} > \dfrac{1}{4}$，可得$c > b$．
解答：解：设$f(x)=\cos x+\dfrac{1}{2}{x}^{2}-1$，$(0 < x < 1)$，则$f\prime (x)=x-\sin x$，
设$g(x)=x-\sin x(0 < x < 1)$，$g\prime (x)=1-\cos x > 0$，
故$g(x)$在$(0,1)$单调递增，即$g(x) > g(0)=0$，
即$f\prime (x) > 0$，故$f(x)$在$(0,1)$上单调递增，
所以$f(\dfrac{1}{4}) > f(0)=0$，可得$\cos \dfrac{1}{4} > \dfrac{31}{32}$，故$b > a$，
利用三角函数线可得$x\in (0,\dfrac{\pi }{2})$时，$\tan x > x$，
$\therefore \tan \dfrac{1}{4} > \dfrac{1}{4}$，即$\dfrac{\sin \dfrac{1}{4}}{\cos \dfrac{1}{4}} > \dfrac{1}{4}$，$\therefore 4\sin \dfrac{1}{4} > \cos \dfrac{1}{4}$，故$c > b$．
综上：$c > b > a$，
故选：$A$．
解答：本题考查了三角函数不等式的证明与应用，考查了运算能力，属难题．．
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