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2022年高考数学甲卷-理1

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（5分）若$z=-1+\sqrt{3}i$，则$\dfrac{z}{z\overline{z}-1}=($　　)
A．$-1+\sqrt{3}i$ B．$-1-\sqrt{3}i$ C．$-\dfrac{1}{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{3}i$ D．$-\dfrac{1}{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{3}i$
分析：由已知求得$z\cdot \overline{z}$，代入$\dfrac{z}{z\overline{z}-1}$，则答案可求．
解答：解：$\because z=-1+\sqrt{3}i$，$\therefore$$z\cdot \overline{z}=\vert z{\vert }^{2}=(\sqrt{(-1)^{2}+(\sqrt{3})^{2}})^{2}=4$，
则$\dfrac{z}{z\overline{z}-1}=\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{4-1}=-\dfrac{1}{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{3}i$．
故选：$C$．
解答：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．

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