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2021年高考数学浙江19<-->2021年高考数学浙江21
20．（15分）已知数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，$a_{1}=-\dfrac{9}{4}$，且$4S_{n+1}=3S_{n}-9(n\in N*)$．
（Ⅰ）求数列$\{a_{n}\}$的通项公式；
（Ⅱ）设数列$\{b_{n}\}$满足$3b_{n}+(n-4)a_{n}=0(n\in N*)$，记$\{b_{n}\}$的前$n$项和为$T_{n}$，若$T_{n}\leqslant \lambda b_{n}$对任意$n\in N*$恒成立，
求实数$\lambda$的取值范围．
分析：（Ⅰ）首先利用递推关系式确定数列为等比数列，然后结合等比数列的通项公式可得数列的通项公式；
（Ⅱ）首先错位相减求得$T_{n}$的值，然后分离参数利用恒成立的结论分类讨论即可求得实数$\lambda$的取值范围．
解：（Ⅰ）由$4S_{n+1}=3S_{n}?9$ 可得$4S_{n}=3S_{n?1}?9(n\geqslant 2)$，
两式作差，可得：$4a_{n+1}=3a_{n}$，
$\therefore$$\dfrac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\dfrac{3}{4}$，
很明显，$\dfrac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=\dfrac{3}{4}$，
所以数列$\{a_{n}\}$ 是以$?\dfrac{9}{4}$为首项，$\dfrac{3}{4}$为公比的等比数列，
其通项公式为：${a}_{n}=(?\dfrac{9}{4})\times {(\dfrac{3}{4})}^{n?1}=?3\times {(\dfrac{3}{4})}^{n}$．
（Ⅱ）由$3b_{n}+(n?4)a_{n}=0$，得${b}_{n}=?\dfrac{n?4}{3}{a}_{n}=(n?4){(\dfrac{3}{4})}^{n}$，
${T}_{n}=?3\times \dfrac{3}{4}?2\times {(\dfrac{3}{4})}^{2}?1\times {(\dfrac{3}{4})}^{3}+\cdots +(n?5){(\dfrac{3}{4})}^{n?1}+(n?4)\cdot {(\dfrac{3}{4})}^{n}$，
$\dfrac{3}{4}{T}_{n}=?3\times {(\dfrac{3}{4})}^{2}?2\times {(\dfrac{3}{4})}^{3}?1\times {(\dfrac{3}{4})}^{4}+\cdots +(n?5)\cdot {(\dfrac{3}{4})}^{n}+(n?4)\cdot {(\dfrac{3}{4})}^{n+1}$，
两式作差可得：
$\dfrac{1}{4}{T}_{n}=?3\times \dfrac{3}{4}+{(\dfrac{3}{4})}^{2}+{(\dfrac{3}{4})}^{3}+{(\dfrac{3}{4})}^{4}+\cdots {(\dfrac{3}{4})}^{n}?(n?4)\cdot {(\dfrac{3}{4})}^{n+1}$
$=?\dfrac{9}{4}+\dfrac{\dfrac{9}{16}[1?{(\dfrac{3}{4})}^{n?1}]}{1?\dfrac{3}{4}}?(n?4){(\dfrac{3}{4})}^{n+1}$
$=?\dfrac{9}{4}+\dfrac{9}{4}?4{(\dfrac{3}{4})}^{n+1}?(n?4)\cdot {(\dfrac{3}{4})}^{n+1}=?n\cdot {(\dfrac{3}{4})}^{n+1}$，
则${T}_{n}=?4n\cdot {(\dfrac{3}{4})}^{n+1}$．
据此可得$?4n\cdot {(\dfrac{3}{4})}^{n+1}\leqslant \lambda (n?4){(\dfrac{3}{4})}^{n}$ 恒成立，即$\lambda (n?4)+3n\geqslant 0$ 恒成立．
$n=4$时不等式成立；
$n<4$时，$\lambda \leqslant ?\dfrac{3n}{n?4}=?3?\dfrac{12}{n?4}$，由于$n=1$时${(?3?\dfrac{12}{n?4})}_{min}=1$，故$\lambda \leqslant 1$；
$n>4$时，$\lambda \geqslant ?\dfrac{3n}{n-4}=?3?\dfrac{12}{n?4}$，而$?3?\dfrac{12}{n?4}<?3$，故：$\lambda \geqslant ?3$；
综上可得，$\{\lambda \vert ?3\leqslant \lambda \leqslant 1\}$．
点评：本题主要考查由递推关系式求数列的通项公式的方法，错位相减求和的方法，数列中的恒成立问题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题．
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