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2021年高考数学浙江8<-->2021年高考数学浙江10
9．（4分）已知$a$，$b\in R$，$ab>0$，函数$f(x)=ax^{2}+b(x\in R)$．若$f(s-t)$，$f(s)$，$f(s+t)$成等比数列，则平面上点$(s,t)$的轨迹是( )
A．直线和圆 B．直线和椭圆 C．直线和双曲线 D．直线和抛物线
分析：利用等比中项的定义得到$f(s)^{2}=f(s-t)f(s+t)$，代入解析式中整理化简，可得$t^{2}(at^{2}-2as^{2}+2b)=0$，分两种情况分别求解轨迹方程，由此判断轨迹即可．
解：函数$f(x)=ax^{2}+b$，因为$f(s-t)$，$f(s)$，$f(s+t)$成等比数列，
则$f^{2}(s)=f(s-t)f(s+t)$，即$(as^{2}+b)^{2}=[a(s-t)^{2}+b][a(s+t)^{2}+b]$，
即$a^{2}s^{4}+2abs^{2}+b^{2}=a^{2}[(s-t)^{2}(s+t)^{2}]+ab(s-t)^{2}+ab(s+t)^{2}+b^{2}$，
整理可得$a^{2}t^{4}-2a^{2}s^{2}t^{2}+2abt^{2}=0$，
因为$a\ne 0$，故$at^{4}-2as^{2}t^{2}+2bt^{2}=0$，即$t^{2}(at^{2}-2as^{2}+2b)=0$，
所以$t=0$或$at^{2}-2as^{2}+2b=0$，
当$t=0$时，点$(s,t)$的轨迹是直线；
当$at^{2}-2as^{2}+2b=0$，即$\dfrac{a{s}^{2}}{b}-\dfrac{a{t}^{2}}{2b}=1$，因为$ab>0$，故点$(s,t)$的轨迹是双曲线．
综上所述，平面上点$(s,t)$的轨迹是直线或双曲线．
故选：$C$．
点评：本题考查了等比中项的应用，动点轨迹方程的求解，要掌握常见的求解轨迹的方法：直接法、定义法、代入法、消参法、交轨法等等，属于中档题．
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