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2021年高考数学新高考Ⅱ-18<-->2021年高考数学新高考Ⅱ-20
19．（12分）在四棱锥$Q-ABCD$中，底面$ABCD$是正方形，若$AD=2$，$QD=QA=\sqrt{5}$，$QC=3$．
（Ⅰ）求证：平面$QAD\bot$平面$ABCD$；
（Ⅱ）求二面角$B-QD-A$的平面角的余弦值．
分析：（Ⅰ）由$CD^{2}+QD^{2}=QC^{2}$证明$CD\bot QD$，再由$CD\bot AD$，证明$CD\bot$平面$QAD$，即可证明平面$QAD\bot$平面$ABCD$．
（Ⅱ）取$AD$的中点$O$，在平面$ABCD$内作$Ox\bot AD$，以$OD$为$y$轴，$OQ$为$z$轴，建立空间直角坐标系，求出平面$ADQ$的一个法向量$\overrightarrow{\alpha }$，平面$BDQ$的一个法向量$\overrightarrow{\beta }$，再求$\cos <\overrightarrow{\alpha }$，$\overrightarrow{\beta }>$即可．
（Ⅰ）证明：$\Delta QCD$中，$CD=AD=2$，$QD=\sqrt{5}$，$QC=3$，所以$CD^{2}+QD^{2}=QC^{2}$，所以$CD\bot QD$；
又$CD\bot AD$，$AD\bigcap QD=D$，$AD\sub$平面$QAD$，$QD\sub$平面$QAD$，所以$CD\bot$平面$QAD$；
又$CD\sub$平面$ABCD$，所以平面$QAD\bot$平面$ABCD$．
（Ⅱ）解：取$AD$的中点$O$，在平面$ABCD$内作$Ox\bot AD$，
以$OD$为$y$轴，$OQ$为$z$轴，建立空间直角坐标系$O-xyz$，如图所示：
则$O(0$，0，$0)$，$B(2$，$-1$，$0)$，$D(0$，1，$0)$，$Q(0$，0，$2)$，
因为$Ox\bot$平面$ADQ$，所以平面$ADQ$的一个法向量为$\overrightarrow{\alpha }=(1$，0，$0)$，
设平面$BDQ$的一个法向量为$\overrightarrow{\beta }=(x$，$y$，$z)$，
由$\overrightarrow{BD}=(-2$，2，$0)$，$\overrightarrow{DQ}=(0$，$-1$，$2)$，
得$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{\beta }\cdot \overrightarrow{BD}=0}\\ {\overrightarrow{\beta }\cdot \overrightarrow{DQ}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-2x+2y=0}\\ {-y+2z=0}\end{array}\right.$，
令$z=1$，得$y=2$，$x=2$，所以$\overrightarrow{\beta }=(2$，2，$1)$；
所以$\cos <\overrightarrow{\alpha }$，$\overrightarrow{\beta }>=\dfrac{\overrightarrow{\alpha }\cdot \overrightarrow{\beta }}{\vert \overrightarrow{\alpha }\vert \cdot \vert \overrightarrow{\beta }\vert }=\dfrac{2+0+0}{1\times \sqrt{4+4+1}}=\dfrac{2}{3}$，
所以二面角$B-QD-A$的平面角的余弦值为$\dfrac{2}{3}$．
点评：本题考查了空间中的垂直关系应用问题，也考查了利用空间向量求二面角的余弦值应用问题，也可以直接利用二面角的定义求二面角的余弦值，是中档题．
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