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2021年高考数学新高考Ⅰ-19

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（12分）记

$\Delta ABC$ 的内角

$A$ ，

$B$ ，

$C$ 的对边分别为

$a$ ，

$b$ ，

$c$ ．已知

$b^{2}=ac$ ，点

$D$ 在边

$AC$ 上，

$BD\sin \angle ABC=a\sin C$ ．
（1）证明：

$BD=b$ ；
（2）若

$AD=2DC$ ，求

$\cos \angle ABC$ ．
分析：（1）利用正弦定理求解；
（2）要能找到隐含条件：

$\angle BDA$ 和

$\angle BDC$ 互补，从而列出等式关系求解．
解：（1）证明：由正弦定理知，

$\dfrac{b}{\sin \angle ABC}=\dfrac{c}{\sin \angle ACB}=2R$ ，

$\therefore b=2R\sin \angle ABC$ ，

$c=2R\sin \angle ACB$ ，

$\because b^{2}=ac$ ，

$\therefore b\cdot 2R\sin \angle ABC=a\cdot 2R\sin \angle ACB$ ，
即

$b\sin \angle ABC=a\sin C$ ，

$\because BD\sin \angle ABC=a\sin C$ ．

$\therefore BD=b$ ；
（2）由（1）知

$BD=b$ ，

$\because AD=2DC$ ，

$\therefore AD=\dfrac{2}{3}b$ ，

$DC=\dfrac{1}{3}b$ ，
在

$\Delta ABD$ 中，由余弦定理知，

$\cos \angle BDA=\dfrac{B{D}^{2}+A{D}^{2}-A{B}^{2}}{2BD\cdot AD}=\dfrac{{b}^{2}+(\dfrac{2}{3}{b)}^{2}-{c}^{2}}{2b\cdot \dfrac{2}{3}b}=\dfrac{13{b}^{2}-9{c}^{2}}{12{b}^{2}}$ ，
在

$\Delta CBD$ 中，由余弦定理知，

$\cos \angle BDC=\dfrac{B{D}^{2}+C{D}^{2}-B{C}^{2}}{2BD\cdot CD}=\dfrac{{b}^{2}+(\dfrac{1}{3}b)^{2}-{a}^{2}}{2b\cdot \dfrac{1}{3}b}=\dfrac{10{b}^{2}-9{a}^{2}}{6{b}^{2}}$ ，

$\because \angle BDA+\angle BDC=\pi$ ，