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2021年高考数学新高考Ⅰ-18<-->2021年高考数学新高考Ⅰ-20
（12分）记$\Delta ABC$的内角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$．已知$b^{2}=ac$，点$D$在边$AC$上，$BD\sin \angle ABC=a\sin C$．
（1）证明：$BD=b$；
（2）若$AD=2DC$，求$\cos \angle ABC$．
分析：（1）利用正弦定理求解；
（2）要能找到隐含条件：$\angle BDA$和$\angle BDC$互补，从而列出等式关系求解．
解：（1）证明：由正弦定理知，$\dfrac{b}{\sin \angle ABC}=\dfrac{c}{\sin \angle ACB}=2R$，
$\therefore b=2R\sin \angle ABC$，$c=2R\sin \angle ACB$，
$\because b^{2}=ac$，
$\therefore b\cdot 2R\sin \angle ABC=a\cdot 2R\sin \angle ACB$，
即$b\sin \angle ABC=a\sin C$，
$\because BD\sin \angle ABC=a\sin C$．
$\therefore BD=b$；
（2）由（1）知$BD=b$，
$\because AD=2DC$，
$\therefore AD=\dfrac{2}{3}b$，$DC=\dfrac{1}{3}b$，
在$\Delta ABD$中，由余弦定理知，$\cos \angle BDA=\dfrac{B{D}^{2}+A{D}^{2}-A{B}^{2}}{2BD\cdot AD}=\dfrac{{b}^{2}+(\dfrac{2}{3}{b)}^{2}-{c}^{2}}{2b\cdot \dfrac{2}{3}b}=\dfrac{13{b}^{2}-9{c}^{2}}{12{b}^{2}}$，
在$\Delta CBD$中，由余弦定理知，$\cos \angle BDC=\dfrac{B{D}^{2}+C{D}^{2}-B{C}^{2}}{2BD\cdot CD}=\dfrac{{b}^{2}+(\dfrac{1}{3}b)^{2}-{a}^{2}}{2b\cdot \dfrac{1}{3}b}=\dfrac{10{b}^{2}-9{a}^{2}}{6{b}^{2}}$，
$\because \angle BDA+\angle BDC=\pi$，
$\therefore \cos \angle BDA+\cos \angle BDC=0$，
即$\dfrac{13{b}^{2}-9{c}^{2}}{12{b}^{2}}+\dfrac{10{b}^{2}-9{a}^{2}}{6{b}^{2}}=0$，
得$11b^{2}=3c^{2}+6a^{2}$，
$\because b^{2}=ac$，
$\therefore 3c^{2}-11ac+6a^{2}=0$，
$\therefore c=3a$或$c=\dfrac{2}{3}a$，
在$\Delta ABC$中，由余弦定理知，$\cos \angle ABC=\dfrac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}=\dfrac{{a}^{2}+{c}^{2}-ac}{2ac}$，
当$c=3a$时，$\cos \angle ABC=\dfrac{7}{6}>1$（舍$)$；
当$c=\dfrac{2}{3}a$时，$\cos \angle ABC=\dfrac{7}{12}$；
综上所述，$\cos \angle ABC=\dfrac{7}{12}$．
点评：本题考查正弦定理及余弦定理的内容，是一道好题．
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