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2021年高考数学乙卷-理23

[选修4-5:不等式选讲](10分)
23.已知函数$f(x)=\vert x-a\vert +\vert x+3\vert$.
(1)当$a=1$时,求不等式$f(x)\geqslant 6$的解集;
(2)若$f(x)>-a$,求$a$的取值范围.
分析:(1)将$a=1$代入$f(x)$中,根据$f(x)\geqslant 6$,利用零点分段法解不等式即可;
(2)利用绝对值三角不等式可得$f(x)\geqslant \vert a+3\vert$,然后根据$f(x)>-a$,得到$\vert a+3\vert >-a$,求出$a$的取值范围.
解:(1)当$a=1$时,$f(x)=\vert x-1\vert +\vert x+3\vert =\left\{\begin{array}{l}{-2x-2,x\leqslant -3}\\ {4,-3<x<1}\\ {2x+2,x\geqslant 1}\end{array}\right.$,
$\because f(x)\geqslant 6$,$\therefore$$\left\{\begin{array}{l}{x\leqslant -3}\\ {-2x-2\geqslant 6}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-3<x<1\;}\\ {4\geqslant 6}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x\geqslant 1}\\ {2x+2\geqslant 6}\end{array}\right.$,
$\therefore x\leqslant -4$或$x\geqslant 2$,
$\therefore$不等式的解集为$(-\infty$,$-4]\bigcup{[}2$,$+\infty )$.
(2)$f(x)=\vert x-a\vert +\vert x+3\vert \geqslant \vert x-a-x-3\vert =\vert a+3\vert$,
若$f(x)>-a$,则$\vert a+3\vert >-a$,
两边平方可得$a^{2}+6a+9>a^{2}$,解得$a>-\dfrac{3}{2}$,
即$a$的取值范围是$(-\dfrac{3}{2}$,$+\infty )$.
点评:本题主要考查绝对值不等式的解法,考查运算求解能力,属于基础题.
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