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2021年高考数学乙卷-理16<-->2021年高考数学乙卷-理18
17．（12分）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
| 旧设备 | 9.8 | 10.3 | 10.0 | 10.2 | 9.9 | 9.8 | 10.0 | 10.1 | 10.2 | 9.7 | | 新设备 | 10.1 | 10.4 | 10.1 | 10.0 | 10.1 | 10.3 | 10.6 | 10.5 | 10.4 | 10.5 |
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为$\overline{x}$和$\overline{y}$，样本方差分别记为$s_{1}^{2}$和$s_{2}^{2}$．
（1）求$\overline{x}$，$\overline{y}$，$s_{1}^{2}$，$s_{2}^{2}$；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果$\overline{y}-\overline{x}\geqslant 2\sqrt{\dfrac{{s}_{1}^{2}{+s}_{2}^{2}}{10}}$，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．
分析：（1）利用平均数和方差的计算公式进行计算即可；
（2）比较$\overline{y}-\overline{x}$与$2\sqrt{\dfrac{{s}_{1}^{2}{+s}_{2}^{2}}{10}}$的大小，即可判断得到答案．
解：（1）由题中的数据可得，$\overline{x}=\dfrac{1}{10}\times (9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10$，
$\overline{y}=\dfrac{1}{10}\times (10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3$，
$s_{1}^{2}=\dfrac{1}{10}\times [(9.8-10)^{2}+(10.3-10)^{2}+(10-10)^{2}+(10.2-10)^{2}+(9.9-10)^{2}+(9.8-10)^{2}$
$+(10-10)^{2}+(10.1-10)^{2}+(10.2-10)^{2}+(9.7-10)^{2}]=0.036$；
$s_{2}^{2}=\dfrac{1}{10}\times [(10.1-10.3)^{2}+(10.4-10.3)^{2}+(10.1-10.3)^{2}+(10.0-10.3)^{2}+(10.1-10.3)^{2}$
$+(10.3-10.3)^{2}+(10.6-10.3)^{2}+(10.5-10.3)^{2}+(10.4-10.3)^{2}+(10.5-10.3)^{2}]=0.04$；
（2）$\overline{y}-\overline{x}=10.3-10=0.3$，$\dfrac{{{s}_{1}}^{2}+{{s}_{2}}^{2}}{10}=\dfrac{0.036+0.04}{10}=0.0076$，
因为$(\dfrac{\overline{y}-\overline{x}}{2})^{2}=0.0225>0.0076$，
所以$\overline{y}-\overline{x}>2\sqrt{\dfrac{{s}_{1}^{2}{+s}_{2}^{2}}{10}}$，
故新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高．
点评：本题考查了样本特征数的计算，解题的关键是掌握平均数与方差的计算公式，考查了运算能力，属于基础题．
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