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2021年高考数学甲卷-理21<-->2021年高考数学甲卷-理23
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）在直角坐标系$xOy$中，以坐标原点为极点，$x$轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线$C$的极坐标方程为$\rho =2\sqrt{2}\cos \theta$．
（1）将$C$的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点$A$的直角坐标为$(1,0)$，$M$为$C$上的动点，点$P$满足$\overrightarrow{AP}=\sqrt{2}\overrightarrow{AM}$，写出$P$的轨迹$C_{1}$的参数方程，并判断$C$与$C_{1}$是否有公共点．
分析：（1）把极坐标方程化为$\rho ^{2}=2\sqrt{2}\rho \cos \theta$，写出直角坐标方程即可；
（2）设点$P$的直角坐标为$(x,y)$，$M(x_{1}$，$y_{1})$，利用$\overrightarrow{AP}=\sqrt{2}\overrightarrow{AM}$求出点$M$的坐标，代入$C$的方程化简得出点$P$的轨迹方程，再化为参数方程，计算$\vert CC_{1}\vert$的值即可判断$C$与$C_{1}$是否有公共点．
解：（1）由极坐标方程为$\rho =2\sqrt{2}\cos \theta$，得$\rho ^{2}=2\sqrt{2}\rho \cos \theta$，
化为直角坐标方程是$x^{2}+y^{2}=2\sqrt{2}x$，
即${(x-\sqrt{2})}^{2}+y^{2}=2$，表示圆心为$C(\sqrt{2}$，$0)$，半径为$\sqrt{2}$的圆．
（2）设点$P$的直角坐标为$(x,y)$，$M(x_{1}$，$y_{1})$，因为$A(1,0)$，
所以$\overrightarrow{AP}=(x-1,y)$，$\overrightarrow{AM}=(x_{1}-1$，$y_{1})$，
由$\overrightarrow{AP}=\sqrt{2}\overrightarrow{AM}$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x-1=\sqrt{2}{(x}_{1}-1)}\\ {y={\sqrt{2}y}_{1}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}(x-1)+1}\\ {{y}_{1}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}x}\end{array}\right.$，
所以$M(\dfrac{\sqrt{2}}{2}(x-1)+1$，$\dfrac{\sqrt{2}}{2}y)$，代入$C$的方程得${[\dfrac{\sqrt{2}}{2}(x-1)+1-\sqrt{2}]}^{2}+{(\dfrac{\sqrt{2}}{2}y)}^{2}=2$，
化简得点$P$的轨迹方程是${(x-3+\sqrt{2})}^{2}+y^{2}=4$，表示圆心为$C_{1}(3-\sqrt{2}$，$0)$，半径为2 的圆；
化为参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=3-\sqrt{2}+2\cos \theta }\\ {y=2\sin \theta }\end{array}\right.$，$\theta$为参数；
计算$\vert CC_{1}\vert =\vert (3-\sqrt{2})-\sqrt{2}\vert =3-2\sqrt{2}<2-\sqrt{2}$，
所以圆$C$与圆$C_{1}$内含，没有公共点．
点评：本题考查了参数方程与极坐标的应用问题，也考查了转化思想与运算求解能力，是中档题．
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